クロス積またはベクトル積

　ベクトル $\bold{A}$ とベクトル $\bold{B}$ とのクロス積またはベクトル積は $\bold{C} = \bold{A} \times \bold{B}$ と記述し $\bold{A}$ クロス $\bold{B}$ と読みます． $\bold{A}\times\bold{B}$ の大きさは $\bold{A}$ および $\bold{B}$ の大きさと両者のなす角のサインとの積と定義されます．ベクトル $\bold{C} = \bold{A}\times\bold{B}$ の方向は $\bold{A}$ および $\bold{B}$ のなす平面と垂直であり，そのようなベクトル $\bold{A}$ , $\bold{B}$ および $\bold{C}$ は右手系を形成します．記号では下記のように記します．

$\bold{A}\times\bold{B} = AB\sin{\theta}\bold{u},\ 0\le\theta\le\pi\cdots(5)$

ここで $\bold{u}$ は $\bold{A}\times\bold{B}$ の方向を指す単位ベクトルです．仮に $\bold{A} = \bold{B}$ または $\bold{A}$ が $\bold{B}$ に対して平行の場合， $\sin\theta = 0$ となって $\bold{A}\times\bold{B} = 0$ と定義できます．

　下記の法則が有効です．

$\bold{A} \times \bold{B} = - \bold{B} \times \bold{A}$
$\bold{A} \times (\bold{B} + \bold{C}) = \bold{A}\times\bold{B} + \bold{A} \times \bold{C}$
$m( \bold{A} \times \bold{B}) = (m \bold{A}) \times \bold{B} = \bold{A} \times (m \bold{B}) = (\bold{A} \times \bold{B})m$
$\bold{i} \times \bold{i} = \bold{j} \times \bold{j} = \bold{k} \times \bold{k} = 0,\ \bold{i} \times \bold{j} = \bold{k},\ \bold{j} \times \bold{k} = \bold{i},\ \bold{k} \times \bold{i} = \bold{j}$
仮に $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ また $\bold{B} = B_1\bold{i} + B_2\bold{j} + B_3\bold{k}$ の場合，

$\displaystyle \bold{A} \times \bold{B} = \left|\begin{array}{ccc} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} A_2 & A_3 \\ B_2 & B_3 \end{array}\right| \bold{i} - \left|\begin{array}{cc} A_1 & A_3 \\ B_1 & B_3 \end{array}\right| \bold{j} + \left|\begin{array}{cc} A_1 & A_2 \\ B_1 & B_2 \end{array}\right| \bold{k}$

$|\bold{A} \times \bold{B}|$ は $\bold{A}$ および $\bold{B}$ が辺となる平行四辺形の面積を表します．
仮に $\bold{A} \times \bold{B} = 0$ であって $\bold{A}$ および $\bold{B}$ が零ベクトルでない場合， $\bold{A}$ および $\bold{B}$ は平行となります．

　クロス積においては交換法則が成り立たないことに注意が必要です．

Dot or scalar product

The dot or scalar product of two vectors $\bold{A}$ and $\bold{B}$ , denoted by $\bold{A}\cdot\bold{B}$ (read $\bold{A}$ dot $\bold{B}$ ) is defined as the product of the magnitude of $\bold{A}$ and $\bold{B}$ and the cosine of the angle between them. In symbols,
$\bold{A}\cdot\bold{B} = AB\cos\theta,\ 0\le\theta\le\pi\cdots(4)$
Note that $\bold{A}\cdot\bold{B}$ is a scalar and not a vector.

The following laws are valid:

$\bold{A}\cdot\bold{B} = \bold{B}\cdot\bold{A}$

Communicative Law for Dot Products

$\bold{A}\cdot(\bold{B} + \bold{C}) = \bold{A}\cdot\bold{B} + \bold{A}\cdot\bold{C}$

Distributive Law

$m(\bold{A}\cdot\bold{B}) = (m\bold{A})\cdot\bold{B} = \bold{A}\cdot(m\bold{\bold{B}}) = (\bold{A}\cdot\bold{B})m$

where $m$ is a scalar.

$\bold{i}\cdot\bold{i} = \bold{j}\cdot\bold{j} = \bold{k}\cdot\bold{k} = 1,\ \bold{i}\cdot\bold{j} = \bold{j}\cdot\bold{k} = \bold{k}\cdot\bold{i} = 0$

If $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ and $\bold{B} = B_1\bold{i} + B_2\bold{j} + B_3\bold{k}$ then

$\bold{A}\cdot\bold{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3$

$\bold{A}\cdot\bold{A} = A^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2$

$\bold{B}\cdot\bold{B} = B^2 = B_1^2 + B_2^2 + B_3^2$

If $\bold{A}\cdot\bold{B} = 0$ and $\bold{A}$ and $\bold{B}$ are not null vectors, then $\bold{A}$ and $\bold{B}$ are perpendicular.

ドット積またはスカラー積

　2つのベクトル $\bold{A}$ と $\bold{B}$ のドット積またはスカラー積は $\bold{A}\cdot\bold{B}$ と記述し（ $\bold{A}$ ドット $\bold{B}$ と読む） $\bold{A}$ および $\bold{B}$ の大きさの積と，両者のなす角のコサインとの積と定義されています．記号では下記のように記します．

$\bold{A}\cdot\bold{B} = AB\cos\theta,\ 0\le\theta\le\pi\cdots(4)$

　特に $\bold{A}\cdot\bold{B}$ はスカラーであってベクトルではないことに注意する必要があります．

　下記の法則が有効です．

$\bold{A}\cdot\bold{B} = \bold{B}\cdot\bold{A}$

ドット積の交換法則

$\bold{A}\cdot(\bold{B} + \bold{C}) = \bold{A}\cdot\bold{B} + \bold{A}\cdot\bold{C}$

分配法則

$m(\bold{A}\cdot\bold{B}) = (m\bold{A})\cdot\bold{B} = \bold{A}\cdot(m\bold{\bold{B}}) = (\bold{A}\cdot\bold{B})m$

ここで $m$ はスカラーです．

$\bold{i}\cdot\bold{i} = \bold{j}\cdot\bold{j} = \bold{k}\cdot\bold{k} = 1,\ \bold{i}\cdot\bold{j} = \bold{j}\cdot\bold{k} = \bold{k}\cdot\bold{i} = 0$
仮に $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ かつ $\bold{B} = B_1\bold{i} + B_2\bold{j} + B_3\bold{k}$ であるなら

$\bold{A}\cdot\bold{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3$
$\bold{A}\cdot\bold{A} = A^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2$
$\bold{B}\cdot\bold{B} = B^2 = B_1^2 + B_2^2 + B_3^2$

仮に $\bold{A}\cdot\bold{B} = 0$ であって $\bold{A}$ および $\bold{B}$ が零ベクトルでないなら $\bold{A}$ および $\bold{B}$ は直交します．

Components of a vector

Any vector $\bold{A}$ in 3 dimensions can be represented with initial point at the origin O of a rectangular coordinate system. Let $(A_1, A_2, A_3)$ be the rectangular coordinates of the terminal point of vector $\bold{A}$ with initial point at O. The vectors $A_1\bold{i}$ , $A_2\bold{j}$ and $A_3\bold{k}$ are called the rectangular component vectors, or simply component vectors, of $\bold{A}$ in the x, y and z directions respectively. $A_1$ , $A_2$ and $A_3$ are called the rectangular components, or simply components, of $\bold{A}$ in the x, y and z directions respectively.

The sum or resultant of $A_1\bold{i}$ , $A_2\bold{j}$ and $A_3\bold{k}$ is the vector $\bold{A}$ , so that we can write
$\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}\cdots(1)$
The magnitude of $\bold{A}$ is
$A = |\bold{A}| = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2}\cdots(2)$
In particular, the position vector or radius vector $\bold{r}$ from O to the point (x, y, z) is written
$\bold{r} = x\bold{i} + y\bold{j} + z\bold{k}\cdots(3)$
and has magnitude $r = |\bold{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

ベクトルの成分

　3次元におけるいかなるベクトル $\bold{A}$ も直交座標系の原点 O における始点により表現可能です．ここでベクトル $\bold{A}$ を直交座標系における原点 O を始点とし $(A_1, A_2, A_3)$ を終点としましょう．そのベクトル $A_1\bold{i}$ , $A_2\bold{j}$ および $A_3\bold{k}$ はそれぞれ $\bold{A}$ における x, y および z 軸方向の 直交成分ベクトル, あるいは単に 成分ベクトル といいます． $A_1$ , $A_2$ および $A_3$ はそれぞれ x, y および z 軸方向における $\bold{A}$ の 直交成分, または単に成分と呼ばれます．

　 $A_1\bold{i}$ , $A_2\bold{j}$ および $A_3\bold{k}$ の和や結果が $\bold{A}$ であり，ゆえに

$\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}\cdots(1)$

　 $\bold{A}$ の大きさは

$A = |\bold{A}| = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2}\cdots(2)$

　特に，原点 O から点 (x, y, z) への 位置ベクトル または 動径ベクトル $\bold{r}$ は以下のように記述できます．

$\bold{r} = x\bold{i} + y\bold{j} + z\bold{k}\cdots(3)$

またその大きさは $r = |\bold{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ となります．

Rectangular unit vectors

The rectangular unit vectors $\bold{i}$ , $\bold{j}$ and $\bold{k}$ are unit vectors having the direction of the positive x, y, and z axes of a rectangular coordinate system. We use right-handed rectangular coordinate system unless otherwise specified. Such systems derive their name from the fact that a right threaded screw rotated through 90° from Ox to Oy will advance in the positive z direction. In general, three vectors $\bold{A}$ , $\bold{B}$ and $\bold{C}$ which have coincident initial points and are not coplanar are said to form a right-handed system if a right threaded screw rotated through an angle less than 180° from $\bold{A}$ to $\bold{B}$ will advance in the direction $\bold{C}$ .

直交単位ベクトル

　直交単位ベクトルは直交座標系におけるx軸y軸z軸の正の方向を有する単位ベクトルです．今後特に断らない限り，右手の直交座標系を用いることにします．そのような系の名は右巻きのねじが Ox から Oy に90°回転すると z 軸の正方向に進むことに由来します．一般的に3つのベクトル $\bold{A}$ , $\bold{B}$ , $\bold{C}$ が一致した始点を有し，かつ同一平面上にないものは，もし $\bold{A}$ から $\bold{B}$ まで 180° 以内に回転する右巻きねじが $\bold{C}$ 方向に進行するなら，右手系 または 右巻き系 を形成すると言います．

Laws of vector algebra and unit vectors

Laws of vector algebra

If $\bold{A}$ , $\bold{B}$ and $\bold{C}$ are vectors, and $m$ and $n$ are scalars, then
$\begin{array}{lll}1. & \bold{A} + \bold{B} = \bold{B} + \bold{A} & Communicative Law for Addition\\ 2. & \bold{A} + (\bold{B} + \bold{C}) = (\bold{A} + \bold{B}) + \bold{C} & Associative Law for Addition\\ 3. & m(n\bold{A}) = (mn)\bold{A} = n(m\bold{A}) & Associative Law for Multiplication\\ 4. & (m + n)\bold{A} = m\bold{A} + n\bold{A} & Distributive Law\\ 5. & m(\bold{A} + \bold{B}) = m\bold{A} + m\bold{B} & Distributive Law \end{array}$
Note that in these laws only multiplication of a vector by one or more scalars is defined.

Unit vectors

Unit vectors are vectors having unit length. If $\bold{A}$ is any vector with length $A > 0$ , then $\bold{A}/A$ is a unit vector, denoted by $\bold{a}$ , having the same direction as $\bold{A}$ .

ベクトル代数の法則と単位ベクトル

ベクトル代数の法則

　 $\bold{A}$ , $\bold{B}$ および $\bold{C}$ がベクトルであり $m$ および $n$ がスカラーであるとすると

$\begin{array}{lll}1. & \bold{A} + \bold{B} = \bold{B} + \bold{A} & Communicative Law for Addition\\ 2. & \bold{A} + (\bold{B} + \bold{C}) = (\bold{A} + \bold{B}) + \bold{C} & Associative Law for Addition\\ 3. & m(n\bold{A}) = (mn)\bold{A} = n(m\bold{A}) & Associative Law for Multiplication\\ 4. & (m + n)\bold{A} = m\bold{A} + n\bold{A} & Distributive Law\\ 5. & m(\bold{A} + \bold{B}) = m\bold{A} + m\bold{B} & Distributive Law \end{array}$

上記の法則は一つのベクトルと一つ以上のスカラーの積算に適用されることを強調しておきます．

単位ベクトル

　単位ベクトルは単位長を有します．仮に $\bold{A}$ が長さが $A > 0$ のベクトルなら $\bold{A}/A$ は単位ベクトルであり， $\bold{a}$ と記述し， $\bold{A}$ と同じ方向を有します．

Vector algebra

The operations of addition, subtraction and multiplication familiar in the algebra of numbers are, with suitable definition, capable of extension to an algebra of vectors. The following definitions are fundamental.

Two vectors $\bold{A}$ and $\bold{B}$ are equal if they have the same magnitude and direction regardless of their initial points.

A vector having direction opposite to that of vector $\bold{A}$ but with the same magnitude is denoted by $-\bold{A}$ .

The sum or resultant of vectors $\bold{A}$ and $\bold{B}$ is a vector $\bold{C}$ formed by placing the initial point of $\bold{B}$ on the terminal point of $\bold{A}$ and joining the initial point of $\bold{A}$ to the terminal point of $\bold{B}$ . The sum $\bold{C}$ is written $\bold{C} = \bold{A} + \bold{B}$ . The definition here is equivalent to the parallelogram law for vector addition.

The difference of vectors $\bold{A}$ and $\bold{B}$ , represented by $\bold{A} - \bold{B}$ , is that vector $\bold{C}$ which added to $\bold{B}$ gives $\bold{A}$ . Equivalently, $\bold{A} - \bold{B}$ may be defined as $\bold{A} + (-\bold{B})$ . If $\bold{A} = \bold{B}$ , then $\bold{A} - \bold{B}$ is defined as the null or zero vector and is represented by the symbol $\bold{0}$ . This has a magnitude of zero but its direction is not defined.

Multiplication of vector $\bold{A}$ by a scalar m produces a vector $m\bold{A}$ with magnitude $|m|$ times the magnitude of $\bold{A}$ and direction the same as or opposite to that of $\bold{A}$ according as $m$ is positive or negative. If $m = 0$ , $m\bold{A} = \bold{0}$ , the null vector.

ベクトル代数

　実数の代数においておなじみの加算，減算，積算の演算は，適切に定義すればベクトル代数にも拡張可能です．下記の定義は基本的なものです．

二つのベクトル $\bold{A}$ と $\bold{B}$ が同じ大きさと方向を有するなら，始点が異なっても 等しい．
あるベクトル $\bold{A}$ と反対の方向を有するが大きさの同じベクトルは $-\bold{A}$ と記述する．
ベクトル $\bold{A}$ と $\bold{B}$ の和または結果がベクトル $\bold{C}$ であり， $\bold{B}$ の始点を $\bold{A}$ の終点に置き，また $\bold{A}$ の始点を $\bold{B}$ の終点に結合して得られる．和 $\bold{C}$ は $\bold{C} = \bold{A} + \bold{B}$ と記述される．ここでの定義はベクトル加算の 平行四辺形の法則 に等しい．
ベクトル $\bold{A}$ と $\bold{B}$ との減算は $\bold{A} - \bold{B}$ と表現し，ベクトル $\bold{B}$ に $\bold{C}$ を加算すると $\bold{A}$ が得られることである．同様に， $\bold{A} - \bold{B}$ は $\bold{A} + (-\bold{B})$ として定義される．仮に $\bold{A} = \bold{B}$ の時， $\bold{A} - \bold{B}$ はヌルまたは 零ベクトル と定義され，記号 $\bold{0}$ で表現される．これは大きさがゼロで方向は定義されていない．
ベクトル $\bold{A}$ にスカラー m を積算する処理はベクトル $m\bold{A}$ であり大きさがベクトル $\bold{A}$ の $|m|$ 倍であり，方向がベクトル $\bold{A}$ と同じか正反対であり， $m$ が正負いずれを取るのかに依存する．仮に $m = 0$ の時は $m\bold{A} = \bold{0}$ となり，ヌルベクトルである．

Vectors and scalars

There are quantities in physics characterized by both magnitude and direction, such as displacement, velocity force and acceleration. To describe such quantities, we introduce the concept of a vector as a directed line segment $\overrightarrow{PQ}$ from one point P called the initial point to another point Q called the terminal point. We denote vectors by bold faced letters or letters with an arrow over them. Thus $\overrightarrow{PQ}$ is denoted by $\bold A$ or $\vec{A}$ . The magnitude or length of the vector is then denoted by $|\overrightarrow{PQ}|$ , $\overline{PQ}$ , $|\bold{A}|$ or $|\overrightarrow{A}|$ .

Other quantities in physics are characterized by magnitude only, such as mass, length and temperature. Such quantities are often called scalars to distinguish them from vectors, but it must be emphasized that apart from units such as feet, degrees, etc., they are nothing more than real numbers. We can thus denote them by ordinary letters as usual.

ベクトルとスカラー

　物理学において量とは，大きさと方向が特徴です．例えば変位，速度，力，加速度など．これらの量を記述するためにベクトルという概念を導入しましょう．有向線分 $\overrightarrow{PQ}$ はある点 P を始点と呼び，もう一方の点 Q を終点と呼びます．ベクトルを太字の文字または上に矢印のついた文字で記述しましょう．ゆえに $\overrightarrow{PQ}$ は $\bold A$ または $\vec{A}$ とも記述できます．ゆえにベクトルの 大きさ や長さは $|\overrightarrow{PQ}|$ , $\overline{PQ}$ , $|\bold{A}|$ または $|\overrightarrow{A}|$ と記述されます．

　物理学における他の量は大きさだけという特徴があります．例えば質量や長さ，温度など．それらの量はしばしば スカラー と呼ばれ，ベクトルとは区別されます．一つ強調しておかないといけないのは，フィートや度といった単位とは別に，それらは実数に限らないということです．ゆえにそれらを普通の文字で一般的に記述できます．

General linear differential equation of order n

The general linear differential equation of order n has the form
$\displaystyle a_0(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y = R(x)\ \ \ (1)$
A differential equation which cannot be written in this form is called nonlinear.

$\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 2xy = \sin x$ is a second order linear equation. $\displaystyle y\frac{d^2y}{dx^2} - x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + x^2y = e^{-x}$ is a second order nonlinear equation.

If R(x), the right side of (1), is replaced by zero the resulting equation is called the complementary, reduced or homogeneous equation. If R(x) ≠ 0, the equation is called the complete or nonhomogeneous equation.

If $\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} -2xy =\sin x$ is the complete equation, then $\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ is the corresponding complementary, reduced or homogeneous equation.

If $a_0(x)\, \cdots \,a_n(x)$ are all constants, (1) is said to have constant coefficient, otherwise it is said to have variable coefficients.

n階の一般線形微分方程式

　n 階の一般的な線形微分方程式は次の形を取ります．

$\displaystyle a_0(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y = R(x)\ \ \ (1)$

　この形で書けない微分方程式は非線形と呼ばれます．

$\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 2xy = \sin x$ は 2 階の線形微分方程式です． $\displaystyle y\frac{d^2y}{dx^2} - x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + x^2y = e^{-x}$ は 2 階の非線形微分方程式です．

　仮に式 (1) の右辺 R(x) をゼロに置換した場合その方程式は相補，縮約または同次方程式と呼ばれます．仮に R(x) ≠ 0 の時，その方程式は完全または 非同次 方程式と呼ばれます．

　仮に $\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} -2xy =\sin x$ が完全方程式の時，ゆえに $\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ は対応する相補，縮約または同次方程式です．

　仮に $a_0(x)\, \cdots \,a_n(x)$ が全て定数の時， (1) は constant coefficient を持つと言われ，そうでなければ 変数係数 を持つと言われます．

How to make a honeycomb grid with slave flash, black straw, and plastic cardboard?

In this article, I’d like to describe how to make a honeycomb grid, to illuminate high directive fill light from behind a model.

Purchase slave flash
Purchase materials
Assemble

1. Purchase slave flash

You can select slave flash. In this article, I’d like to select as below. The guide number is 5, it may not enough.

If you would need a flash with large guide number, you could select as below.

2. Purchase materials

The material list is following;

Black straw
Stainless steel bowl
Adhesives
Black plastic cardboard

I purchased black straw on Amazon, which diameter is 1.3 cm, for eating tapioca.

Stainless steel bowl with inner gloss surface is a reflector of flash. The diameter is 13 cm. You could select 11 cm or 18 cm diameter, depending on required size.

I purchased adhesive on 100 yen shop. You would have to purchase adhesives which could adhere polypropylene, because the straw is made from polypropylene. You should avoid superglue.

I purchased plastic cardboard on Amazon.

3. Assemble

Calculate the required number of straws
Cut straws with same length
Adhere straws
Wrap cardboard around the honeycomb

1. Calculate the required number of straws

Required number of straw depends on the diameter of bowl and straw. The diameter of bowl is 13 cm and the diameter of straw is 1.3 cm, respectively. You could cover the opening of bowl with honeycomb if you had at least 10 straws diameter. It becomes hexagonal if you spread all over same size circles without gaps. If the number of circles on the line passing between a vertex and the vertex of the diagonal is odd number, we obtain regular hexagon. Now we need eleven straws. If you put the number of circles on diagonal as n, we obtain the total number of straw with calculating as following formula.

$\displaystyle N = \left\{n-1 + \frac{n + 1}{2}\right\}\times \frac{n - 1}{2} + n = \frac{3n^2 + 1}{4}$

2. Cut straws with same length

Measure the length with a ruler and cut the required number of straws. I’d like to make honeycomb with 2 cm and 4 cm thick. It may become uneven, you don’t have to care. The average length of them should be 2 cm and 4 cm from the law of great numbers.

3. Adhere straws

Adhere straws as below. It might be appropriate to set straws with required number before you adhere.

Adhere them from bottom to top with quickly.

Now you get honeycomb. Press one side of honeycomb to the work bench to align the tip before the adhesive become hard.

4. Wrap cardboard around the honeycomb

When you wrap cardboard around the honeycomb, you would have to pay attention in feature of cardboard. Cardboard has 4 mm thickness, and when you fold cardboard without incision, the folding would be distorted. It is required to bundle straws. You should put a cut inside of folding. I have purchased cardboard with 60 cm long side and 45 cm short side. To make a regular hexagonal column of 6 cm height and 8 cm side, cut out a rectangle about 6 cm and 45 cm.

You should make incision with fold along honeycomb as following picture.

After making incision, adhere straw to cardboard with adhesive as following picture.

ヒカル小町と黒ストローを使ってハニカムグリッドを自作する

　今回は黒ストローを用いてハニカムグリッドを自作する方法を述べます．太いストローや作業に適したプラダンが100円ショップで見つからず，Amazonで購入しました．目的はモデルの背後から当てるリムライトです．

ヒカル小町を購入する
材料を購入する
組み立て

1. ヒカル小町を購入する

　ヒカル小町にはいくつかの種類がありますが，今回は下記を使用することにします．ガイドナンバーは5でそれほど大きくありません．

　ガイドナンバーの大きい物が必要な場合は下記がよいでしょう．

2. 材料を購入する

　材料リストは下記の通りです．

黒ストロー
ステンレス製ボウル
接着剤
プラダン（黒）

　黒ストローは Amazon で購入しました．一般の細いストローも検討しましたが，市販のハニカムグリッドに近いほうが良いかと思われたためです．これはタピオカ用で直径 1.3 cm と通常よりかなり太いものです．

　ステンレス製のボウルは内面の光沢をストロボの反射鏡として用います．口径は 13 cm のものにしました．他には 11 cm のものや 18 cm のものもありました．用途に応じて選べばよいでしょう．

　接着剤は100円ショップで購入しました．ストローの素材はポリプロピレンなので，ポリプロピレンを接着可能なものを選びます．瞬間接着剤は避けたほうがよいでしょう．プラダンも Amazon で購入しました．

3. 組み立て

必要なストローの数を計算する
ストローを切り揃える
ストローを接着する
プラダンを巻きつけて接着する

1. 必要なストローの数を計算する

　必要なストローの本数はボウルの口径とストローの直径で決まります．今回は口径 13 cm のボウルに直径 1.3 cm のストローを用いるので，最低10本のストローでボウルの開口部を覆うことができると推測します．円を隙間なく詰めていくと六角形になるのは経験上分かります．正六角形にするには六角形のある頂点と対角の頂点を通る円の数が奇数である必要があり，今回は 11 本のストローが必要となります．この本数を n とすると，全体で必要なストローの本数 N は下式で求まります．11 本の場合は全部で 91 本が必要とわかります．

$\displaystyle N = \left\{n-1 + \frac{n + 1}{2}\right\}\times \frac{n - 1}{2} + n = \frac{3n^2 + 1}{4}$

2. ストローを切り揃える

　定規で長さを計りながら必要な本数の黒ストローをはさみで切断します．今回は 2 cm と 4 cm の二種類を作ることにします．多少不揃いになりますが問題ありません．大数の法則から平均値 2 cm および 4 cm に収束する筈です．

3. ストローを接着する

　下図のように 1 列ごとにストローを接着していきます．あらかじめ必要な本数ごとに並べておくとよいでしょう．

　下から順に積み上げて接着していきます．手早く作業を進めます．

　六角形になりました．接着剤が固まらないうちに片面を作業台に押し当てて先端位置を揃えます．多少ずれていても実用上問題はありません．

4. プラダンを巻きつけて接着する

　プラダンをストロー周囲に巻きつける際，プラダンの性質に注意する必要があります．プラダンは厚さが 4 mm あり，そのまま曲げると折り目付近に歪みが発生します．接着したストローが分解しないように補強するのが目的ですので，折り目の内側に切込みを入れておくのがよいでしょう．今回購入したプラダンは長辺 60 cm, 短辺 45 cmの製品です．一辺 8 cm 高さ 5 cm および高さ 6 cm の正六角柱を作るため，45 cm × 5 cm および 45 cm × 6 cm 程度の長方形をそれぞれ切り出します．

実物で合わせながら折り曲げていきます．仮組みしながら切込みを入れていくのがよいでしょう．写真は切り込んだ部分を表裏逆に広げたものです．

切込みと折り目づけが済んだらストローに接着剤を塗ってプラバンを接着します．この際，切り口の揃った方に合わせて下さい．写真は接着後にステンレスボウルに被せた状態で撮影したものです．

Systemic IgG4-related lymphadenopathy: a clinical and pathologic comparison to multicentric Castleman’s disease

Differential diagnosis between Castleman’s disease and systemic IgG4-related lymphadenopathy is described in this article. In their patients, systemic IgG4-related lymphadenopathy showed pathologic features only partially overlapping those of multicentric Castleman’s disease. Serum data, especially CRP and IL-6 are useful for differentiating the two.

Systemic IgG4-related lymphadenopathy: a clinical and pathologic comparison to multicentric Castleman’s disease

Yasuharu Sato, Masaru Kojima, Katsuyoshi Takata, Toshiaki Morito, Hideki Asaoku, Tamotsu Takeuchi, Kohichi Mizobuchi, Megumu Fujihara, Kazuya Kuraoka, Tokiko Nakai, Kouichi Ichimura, Takehiro Tanaka, Maiko Tamura, Yuriko Nishikawa and Tadashi Yoshino

Modern Pathology (2009) 22, 589–599

IgG4-related disease sometimes involves regional and/or systemic lymph nodes, and often clinically and/or histologically mimics multicentric Castleman’s disease or malignant lymphoma. In this study, we examined clinical and pathologic findings of nine patients with systemic IgG4-related lymphadenopathy. None of these cases were associated with human herpes virus-8 or human immunodeficiency virus infection, and there was no T-cell receptor or immunoglobulin gene rearrangement. Histologically, systemic IgG4-related lymphadenopathy was classified into two types by the infiltration pattern of IgG4-positive cells: interfollicular plasmacytosis type and intra-germinal center plasmacytosis type. The interfollicular plasmacytosis type showed either Castleman’s disease-like features or atypical lymphoplasmacytic and immunoblastic proliferation-like features. By contrast, the intra-germinal center plasmacytosis type showed marked follicular hyperplasia, and infiltration of IgG4-positive cells mainly into the germinal centers, and some cases exhibited features of progressively transformed germinal centers. Interestingly, eight of our nine (89%) cases showed eosinophil infiltration in the affected lymph nodes, and examined patients showed high elevation of serum IgE. Laboratory examinations revealed elevation of serum IgG4 and soluble interleukin-2 receptors. However, the levels of interleukin-6, C-reactive protein, and lactate dehydrogenase were within normal limits or only slightly elevated in almost all patients. One patient showed a high interleukin-6 level whereas C-reactive protein was within the normal limit. Autoantibodies were examined in five patients and detected in four. Compared with the previously reported cases of multicentric Castleman’s disease, our patients with systemic IgG4-related lymphadenopathy were significantly older and had significantly lower C-reactive protein and interleukin-6 levels. In conclusion, in our systemic IgG4-related lymphadenopathy showed pathologic features only partially overlapping those of multicentric Castleman’s disease, and serum data (especially C-reactive protein and interleukin-6) are useful for differentiating the two. Our findings of eosinophil infiltration in the affected tissue and elevation of serum IgE may suggest an allergic mechanism in the pathogenesis of systemic IgG4-related lymphadenopathy.

Keywords: systemic IgG4-related lymphadenopathy; C-reactive protein; interleukin-6; immunoglobulin E; multicentric castleman’s disease

Systemic IgG4-related lymphadenopathy: a clinical and pathologic comparison to multicentric Castleman’s disease

　キャッスルマン病と systemic IgG4-related lymphadenopathy との鑑別点について述べられています．Systemic IgG4-related lymphadenopathy の一部とキャッスルマン病とでは病理像に共通点も見られますが，CRP と IL-6 により鑑別できるとしています．

Systemic IgG4-related lymphadenopathy: a clinical and pathologic comparison to multicentric Castleman’s disease

Yasuharu Sato, Masaru Kojima, Katsuyoshi Takata, Toshiaki Morito, Hideki Asaoku, Tamotsu Takeuchi, Kohichi Mizobuchi, Megumu Fujihara, Kazuya Kuraoka, Tokiko Nakai, Kouichi Ichimura, Takehiro Tanaka, Maiko Tamura, Yuriko Nishikawa and Tadashi Yoshino

Modern Pathology (2009) 22, 589–599

IgG4 関連疾患は時に局所または全身リンパ節に浸潤し，時にキャッスルマン病や悪性リンパ腫と臨床的・組織学的に類似する．本研究では我々は systemic IgG4-related lymphadenopathy の臨床的・病理学的所見を調査した．ヒトヘルペスウイルス 8 や HIV 感染と関連した症例や，T cell receptor や免疫グロブリンの遺伝子再構成と関連した症例はなかった．組織学的には systemic IgG4-related lymphadenopathy は IgG4 陽性細胞の浸潤パターンにより 2 型に分類される．すなわち，濾胞間形質細胞型と胚中心形質細胞型に．濾胞間形質細胞型はキャッスルマン病様か異型リンパ形質細胞の像を呈し，免疫芽細胞増殖様の特徴を呈する．対照的に，胚中心形質細胞型は著明な濾胞の過形成を呈し，IgG4 陽性細胞は主に胚中心に浸潤し，ある例では進行した胚中心の形質転換像を呈していた．興味深いことに 9 例のうち 8 例で好酸球浸潤を幹部のリンパ節に認め，血清 IgE の著明な上昇を認めた．検査所見では血清 IgG4 と sIL-2R の上昇が認められた．しかしながら全症例において IL-6, CRP, LDH のレベルは正常範囲または軽度の上昇に留まった．1 名の患者は IL-6 の高値を認めたが CRP は正常範囲に留まった．自己抗体を 5 名の患者で検査し 4 名の患者で検出した．これまで報告された多中心性キャッスルマン病の症例と比較して，我々の systemic IgG4-related lymphadenopathy の患者は著明に高齢で CRP と IL-6 値が著明に低値であった．結論として我々の systemic IgG4-related lymphadenopathy は，多中心性キャッスルマン病との間に部分的に共通する病理学的特徴を有し，血清データ（特に CRP と IL-6）は両者を鑑別するのに有用であった．我々の所見は患部組織への好酸球浸潤と血清 IgE 上昇であるが，systemic IgG4-related lymphadenopathy の病原性においてアレルギー的な機序を示唆するのかもしれない．

Keywords: systemic IgG4-related lymphadenopathy; C-reactive protein; interleukin-6; immunoglobulin E; multicentric castleman’s disease

Numerical methods for solving differential equations

Given the boudary-value problem
$\displaystyle dy/dx = f(x, y)\ \ \ y(x_0) = y_0\ \ \ (1)$
it may not be possible to obtain an exact solution. In such case various methods are available for obtaining an approximate or numerical solution. In the following we list several methods.

Step by step or Euler method

Taylor series method

Picard’s method

Runge-Kutta method

1. Step by step or Euler method

In this method we replace the differential equation of (1) by the approximation
$\displaystyle \frac{y(x_0 + h)-y(x_0)}{h} = f(x_0, y_0)\ \ \ (2)$
so that
$\displaystyle y(x_0 + h) = y(x_0) + hf(x_0, y_0)\ \ \ (3)$
By continuity in this manner we can then find $y(x_0 + 2h),\ y(x_0 + 3h)$ , etc. We choose $h$ sufficiently small so as to obtain good approximations.

A modified procedure of this method can also be used.

2. Taylor series method

By successive differentiation of the differential equation in (1) we can find $y'(x_0),\ y''(x_0),\ y'''(x_0),\cdots$ . Then the solution is given by the Taylor series
$\displaystyle y(x) = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) + \frac{y''(x_0)(x - x_0)^2}{2!} + \cdots\ \ \ (4)$
assuming that the series converges. If it does we can obtain $y(x_0 + h)$ to any desired accuracy.

3. Picard’s method

By integrating the differential equation in (1) and using the boundary condition, we find
$\displaystyle y(x) = y_0 + \int^{x}_{x_0}\! f(u, y)du\ \ \ (5)$
Assuming the approximation $y_1(x) = y_0$ , we obtain from (5) a new approximation.
$\displaystyle y_2(x) = y_0 + \int^{x}_{x_0}\! f(u, y_1)du\ \ \ (6)$
Using this in (5) we obtain another approximation.
$\displaystyle y_3(x) = y_0 + \int^{x}_{x_0}\! f(u, y_2)du\ \ \ (7)$
Continuing in this manner we obtain a sequence of approximations $y_1, y_2, y_3,\cdots$ . The limit of this sequence, if it exists, is the required solution. However, by carrying out the procedure a few times, good approximations can be obtained.

4. Runge-Kutta method

This method consists of computing
$\displaystyle \left.\begin{array}{rcl}k_1 & = & hf(x_0, y_0) \\ k_2 & = & hf(x_0 + \frac{1}{2}h, y_0 + \frac{1}{2}k_1) \\ k_3 & = & hf(x_0 + \frac{1}{2}h, y_0 + \frac{1}{2}k_2 \\ k_4 & = & hf(x_0 + \frac{1}{2}h, y_0 + \frac{1}{2}k_3) \end{array} \right\}\ \ \ (8)$
Then
$\displaystyle y(x_0 + h) = y_0 + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\ \ \ (9)$
These methods can also be adapted for higher order differential equations by writing them as several first order equations.

月	火	水	木	金	土	日
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30