admin | Improve Society

微分方程式を解くための数値解法

　次の境界値問題が与えられたとします．

$\displaystyle dy/dx = f(x, y)\ \ \ y(x_0) = y_0\ \ \ (1)$

恐らく正確な解を得ることはできないでしょう．このような場合，様々な方法で近似値や数値解法が得られます．いくつかの方法を列挙します．

逐次近似法またはオイラー法
テイラー級数法
ピカール法
ルンゲクッタ法

1. 逐次近似法またはオイラー法

　この手法では微分方程式 (1) を次の近似式で置換します．

$\displaystyle \frac{y(x_0 + h)-y(x_0)}{h} = f(x_0, y_0)\ \ \ (2)$

そのため，

$\displaystyle y(x_0 + h) = y(x_0) + hf(x_0, y_0)\ \ \ (3)$

このような連続性により $y(x_0 + 2h),\ y(x_0 + 3h)$ 等を見出すことができます．十分に小さな $h$ を選ぶことで良い近似が得られます．

　この方法の変法もまた用いられています．

2. テイラー級数法

　(1) における微分方程式を連続して微分することで $y'(x_0),\ y''(x_0),\ y'''(x_0),\cdots$ が得られます．そしてその解は，その級数が収束することを前提に，次のテイラー級数で得られます．

$\displaystyle y(x) = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) + \frac{y''(x_0)(x - x_0)^2}{2!} + \cdots\ \ \ (4)$

級数が収束するならいかなる精度でも $y(x_0 + h)$ が得られます．

3. ピカール法

　(1) の微分方程式を積分し，境界条件を用いることで次式が得られます．

$\displaystyle y(x) = y_0 + \int^{x}_{x_0}\! f(u, y)du\ \ \ (5)$

近似式 $y_1(x) = y_0$ を前提として (5) から次の新しい近似式が得られます．

$\displaystyle y_2(x) = y_0 + \int^{x}_{x_0}\! f(u, y_1)du\ \ \ (6)$

(5) においてこれを用いると別の近似式が得られます．

$\displaystyle y_3(x) = y_0 + \int^{x}_{x_0}\! f(u, y_2)du\ \ \ (7)$

　このように連続して一連の近似式 $y_1, y_2, y_3,\cdots$ を得ます．この一連の近似式の極限は，もし存在するなら，求められる解です．しかしながら数回の手順を行うことで良い近似が得られます．

4. ルンゲクッタ法

　この手法は次の計算を含みます．

$\displaystyle \left.\begin{array}{rcl}k_1 & = & hf(x_0, y_0) \\ k_2 & = & hf(x_0 + \frac{1}{2}h, y_0 + \frac{1}{2}k_1) \\ k_3 & = & hf(x_0 + \frac{1}{2}h, y_0 + \frac{1}{2}k_2 \\ k_4 & = & hf(x_0 + \frac{1}{2}h, y_0 + \frac{1}{2}k_3) \end{array} \right\}\ \ \ (8)$

　ゆえに

$\displaystyle y(x_0 + h) = y_0 + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\ \ \ (9)$

　これらの手法もまた数個の1階の微分方程式として記述することで高階の微分方程式に適合しています．

How to make a sunuto with Hikaru-Komachi and available materials in 100 yen shop?

In this article, I’d like to describe how to make sunuto with slave flash and available materials in 100 yen shop. Hikaru-Komachi, the light quantity doesn’t reach the studio flash, is slave flash that the position of them is fill light.

Purchase slave flash
Purchase the materials in 100 yen shop
Assemble

1. Purchase slave flash

You can select slave flash from many choice. Hikaru-Komachi 2D requires two AA batteries and its guide number is 5 fixed. If you need larger guide number, you can select Hikaru-Komachi Di (GN 13) or other slave flash.

2. Purchase the materials in 100 yen shop

Required materials are following list;

Plastic tape with wire
Packing tape
Stainless steel bowl
Aluminum sheet for thermal insulation

I purchased plastic tape with wire at horticultural corner and stainless steel bowl at kitchen corner, respectively. Inner gloss surface is a reflector of flash. I purchased aluminum sheet at special event corner.

3. Assemble

Cut aluminium sheet to appropriate size and wrap it around the bowl, and fix with packing tape. The exact form of the aluminum sheet is fan-shaped. If you cut it into a rectangular shape, you don’t have to care. You can adjust the margin.

Cut the packing tape with length of the opening of the bowl and paste the plastic tape along the packing tape. The wire is for keeping the opening circular shape.

Paste packing tape with plastic tape around the opening of the column of aluminium sheet.

Put slave flash into the bowl. Finished!

Now, calculate the performance of the fill light. If you would shoot with medium-size or large-size format, you might set aperture of lens to 16 or 22. If you set aperture to 16 with GN 5, for example, you can get correct exposure with shooting distance 33 cm. If you use the sunuto as fill light, you have to close to 8 cm. If you use flash with GN 13, you can get correct exposure with 75 cm distance and fill light effect with 19 cm, respectively. The light quantity is not enough. You might set the distance at least 50 cm between model and sunuto. You might require GN 32 flash with aperture 16 and GN 44 flash with aperture 22, respectively.

100円ショップとヒカル小町でスヌートを自作する

　今回はヒカル小町および 100 円ショップで揃えた物品を用いてスヌートを自作する方法を述べます．ヒカル小町はスレーブ専用ストロボで，光量や使い勝手は大光量のスタジオ用のストロボには及びません．あくまでも補助光源としての位置付けです．トップからのヘアライト，主光源のバンクやアンブレラは完成しており，リムライトとしてモデルの背後から当てる目的です．

ヒカル小町を購入する
100円ショップで材料を購入する
組み立て

1. ヒカル小町を購入する

　ヒカル小町には様々なバリエーションがあります．今回は最新のものを使用することにします．電源は単3電池2本でガイドナンバーは5に固定されています．

2. 100円ショップで材料を購入する

　必要な物品は下記のとおりです．

ワイヤー入りビニール紐
ガムテープ（黒）
ステンレス製野菜入れ
アルミ保温シート

　ワイヤー入りビニール紐は園芸コーナーにありました．ステンレス製野菜入れはキッチンコーナーにあり，コップのような形をしています．内面の光沢を反射鏡として用います．アルミ保温シートは催事コーナーにありました．数10cm四方あれば十分です．

3. 組み立て

　アルミ保温シートを適当な大きさに切ってステンレス製野菜入れに巻きつけ，ガムテープで止めます．アルミ保温シートの形状は厳密には扇形になりますが，長方形でも重ね合わせる糊代で調整すれば問題ありません．

　開口部の円周の長さにガムテープを切り，ワイヤー入りビニール紐を長めに切って貼り付けます．このワイヤーは開口部の形状を維持するためのものです．

　ワイヤー入りビニール紐を貼り付けたガムテープを開口部に貼り付けます．余ったワイヤー入りビニール紐は切り落とします．

　中にヒカル小町を入れて完成です．覗きこんでみると上記のようになります．

　ところで，ガイドナンバーから実際にフィルライトとしての性能を計算してみます．中版や大判カメラの場合絞りはかなり絞って撮影します．例えば絞り16の場合，上記ガイドナンバーですと撮影距離は 5/16 ≅ 1/3, つまり約 33 cm で適正です．フィルライトとして使うならその 4 分の 1 の距離，つまり 8 cm ほどまで近づける必要があります．ガイドナンバー 13 の製品の場合ですと適正距離は 13/16 ≅ 0.75 m, フィルライトとして使うなら 19 cm まで近づける必要があります．光量が足りませんね．モデルの背後に置くための物品などの取り合わせからすると最低でも 0.5 m は離す必要があります．逆算すると絞り 16 でガイドナンバー 32, 絞り 22 でガイドナンバー 44 が必要です．きちんとしたスレーブストロボを考慮すべきでしょう．

Special first order equations and solutions

Any first order differential equation can be put into the form
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x,y)$
or
$\displaystyle M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$
and the general solution of such an equation contains one arbitrary constant. Many special devices are available for finding general solutions of various types of first order differential equations. In the following list some of types are given.

Separation of variables

Exact equation

Integrating factor

Linear equation

Homogeneous equation

Bernoulli’s equation

Equation solvable for y

Clairaut’s equation

Miscellaneous equations

1. Separation of variables

If differential equation is given as below,
$\displaystyle f_1(x)g_1(y)dx + f_2(x)g_2(y)dy = 0$
divide by $g_1(y)f_2(x) \ne 0$ and integrate to obtain general solution
$\displaystyle \int\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \int\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = c$
2. Exact equation

If differential equation is given as below,
$\displaystyle M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$
where $\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

The equation can be written as
$\displaystyle Mdx + Ndy = dU(x, y) = 0$
where dU is an exact differential. Thus the solution is $U(x, y) = c$ or equivalently
$\displaystyle \int M\partial x + \int\left(N - \frac{\partial}{\partial y}\int M\partial x\right)dy = c$
where δx indicates that the integration is to be performed with respect to x keeping y constant.

3. Integrating factor

If differential equation is given as below,
$\displaystyle M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$
where
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$
The equation can be written as an exact differential equation
$\displaystyle \mu M dx + \mu N dy = 0$
where μ is an appropriate integrating factor.

The following combination are often useful in finding integration factors.

$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2} = d\left(\frac{y}{x}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{y^2} = -d\left(\frac{x}{y}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} = d\left(\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2 - y^2} = \frac{1}{2}d\left(\ln\frac{x - y}{x + y}\right)$
$\displaystyle \frac{xdx + ydy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2}d\{\ln(x^2 + y^2)\}$

4. Linear equation

If differential equation is given as below,
$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
An integrating factor is given by
$\displaystyle \mu = e^{\int P(x)dx}$
and the equation can then be written
$\displaystyle \frac{d}{dx}(\mu y) = \mu Q$
with solution
$\displaystyle \mu y = \int \mu Qdx + c$
or
$\displaystyle ye^{\int Pdx} = \int Qe^{\int Pdx}dx + c$
5. Homogeneous equation

If differential equation is given as below,
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$
Let $y/x = v$ or $y = vx$ , and the equation becomes
$\displaystyle v + x\frac{dv}{dx} + F(x)$
or
$\displaystyle xdv + (F(x) - v)dx = 0$
which is of Type 1 and has the solution
$\displaystyle \ln x = \int \frac{dv}{F(v) - v} + c$
where $v = y/x$ . If $F(v) = v$ , the solution is $y = cx$ .

6. Bernoulli’s equation

If differential equation is given as below,
$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n,\ n \neq 0, 1$
Letting $v = y^{1 - n}$ , the equation reduces to Type 4 with solution
$\displaystyle ve^{(1-n)\int Pdx} = (1 - n)\int Qe^{(1-n)\int Pdx}dx + c$
If n = 0, the equation is of Type 4. If n = 1, it is of Type 1.

7. Equation solvable for y

If differential equation is given as below,
$\displaystyle y = g(x, y)$
where
$\displaystyle p = y'$
Differentiate both sides of the equation with respect to x to obtain
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dg}{dx} = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}$
or
$\displaystyle p = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}$
Then solve this last equation to obtain $G(x, p, c) = 0$ . The required solution is obtained by eliminating p between $G(x, p, c) = 0$ and $y = g(x, p)$ .

An analogous method exists if the equation is solvable for x.

8. Clairaut’s equation

If differential equation is given as below,
$\displaystyle y = px + F(p)$
where
$\displaystyle p = y'$
The equation is of Type 7 and has solution
$\displaystyle y = cx + F(c)$
The equation will also have a singular solution in general.

9. Miscellaneous equations

If differential equation is given as below,
$\displaystyle (a) \frac{dy}{dx} = F(\alpha x + \beta y)\\\vspace{0.2 in} (b) \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{\alpha_1 x + \beta_1 y + \gamma_1}{\alpha_2 x + \beta_2 y + \gamma_2}\right)$
(a)Letting $\alpha x + \beta y = v$ , the equation reduces Type 1.

(b)Let $x = X +h,\ y = Y + k$ and choose constants h and k so that the equation reduces to Type 5. This is possible if and only if $\alpha_1/\alpha_2 \neq \beta_1/\beta_2$ . If $\alpha_1/\alpha_2 = \beta_1/\beta_2$ , the equation reduces to Type 9(a).

特殊な1階常微分方程式とその解

　いかなる 1 階の微分方程式も次の形に置き換えることができます．

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x,y)$

または

$\displaystyle M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

そしてそれらの方程式の一般解は一つの任意定数を持ちます．様々な種類の 1 階微分方程式の一般解の発見には多くの特殊な装置が有用です．下記のリストにはその幾つかを示してあります．

変数分離法
完全微分方程式
積分因子
線形微分方程式
同次方程式
ベルヌーイの方程式
y について解ける方程式
クレローの方程式
その他の方程式

1. 変数分離法

　微分方程式が下記のようである場合は

$\displaystyle f_1(x)g_1(y)dx + f_2(x)g_2(y)dy = 0$

一般解を得るには $g_1(y)f_2(x) \ne 0$ で除し，積分します．

$\displaystyle \int\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \int\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = c$

2. 完全微分方程式

　微分方程式が下記のようである場合は

$\displaystyle M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$

ここで $\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

　この方程式は次のように書き換えられます．

$\displaystyle Mdx + Ndy = dU(x, y) = 0$

ここで dU は完全微分方程式です．ゆえにその解は $U(x, y) = c$ または同等の解として

$\displaystyle \int M\partial x + \int\left(N - \frac{\partial}{\partial y}\int M\partial x\right)dy = c$

ここで δx は y を定数とし x による積分を行うことを示します．

3. 積分因子

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$

ここで

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$

　この方程式は次のように完全微分方程式に書き換えられます．

$\displaystyle \mu M dx + \mu N dy = 0$

ここで μ は適切な積分因子です．

　下記の組み合わせは積分因子を発見するのにしばしば有用です．

$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2} = d\left(\frac{y}{x}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{y^2} = -d\left(\frac{x}{y}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} = d\left(\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2 - y^2} = \frac{1}{2}d\left(\ln\frac{x - y}{x + y}\right)$
$\displaystyle \frac{xdx + ydy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2}d\{\ln(x^2 + y^2)\}$

4. 線形微分方程式

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

　積分因子は次のように得られます．

$\displaystyle \mu = e^{\int P(x)dx}$

また方程式は次のように書き換えられます．

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\mu y) = \mu Q$

解は以下のようです．

$\displaystyle \mu y = \int \mu Qdx + c$

または

$\displaystyle ye^{\int Pdx} = \int Qe^{\int Pdx}dx + c$

5. 同次方程式

微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$

　 $y/x = v$ または $y = vx$ とします．すると方程式は次のようになります．

$\displaystyle v + x\frac{dv}{dx} + F(x)$

または

$\displaystyle xdv + (F(x) - v)dx = 0$

ここで Type 1 と同じになり，解は次のようになります．

$\displaystyle \ln x = \int \frac{dv}{F(v) - v} + c$

ここで $v = y/x$ です．もし $F(v) = v$ なら解は $y = cx$ となります．

6. ベルヌーイの方程式

微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n,\ n \neq 0, 1$

　 $v = y^{1 - n}$ とします．すると方程式は Type 4 に置き換えられ，解は次のようになります．

$\displaystyle ve^{(1-n)\int Pdx} = (1 - n)\int Qe^{(1-n)\int Pdx}dx + c$

　仮に n = 0 なら方程式は Type 4 と同じであり， n = 1 なら Type 1 と同じです．

7. y について解ける方程式

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle y = g(x, y)$

ここで

$\displaystyle p = y'$

　方程式の両辺を x について微分すると次が得られます．

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dg}{dx} = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}$

または

$\displaystyle p = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}$

　そしてこの最後の方程式を解くと $G(x, p, c) = 0$ が得られます．必要な解は $G(x, p, c) = 0$ と $y = g(x, p)$ の間の p を消去して得られます．

　その方程式を x について解くための類似の方法が存在します．

8. クレローの方程式

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle y = px + F(p)$

ここで

$\displaystyle p = y'$

　この方程式は Type 7 に置き換えられ，解は次の通りです．

$\displaystyle y = cx + F(c)$

　この方程式もまた一般解のうち単解を有します．

9. その他の方程式

微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle (a) \frac{dy}{dx} = F(\alpha x + \beta y)\\\vspace{0.2 in} (b) \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{\alpha_1 x + \beta_1 y + \gamma_1}{\alpha_2 x + \beta_2 y + \gamma_2}\right)$

(a) $\alpha x + \beta y = v$ とすると，方程式は Type 1 に置き換えられます．

(b) $x = X +h,\ y = Y + k$ とし，定数 h と k を方程式が Type 5 に置き換えられるように定めます．この処理は以下の場合，すなわち $\alpha_1/\alpha_2 \neq \beta_1/\beta_2$ の場合に限り可能です．仮に $\alpha_1/\alpha_2 = \beta_1/\beta_2$ の場合，方程式は Type 9(a) に置き換えられます．

Ordinary differential equations

Definition of a differential equation

A differential equation is an equation involving derivatives or differentials.

Equations involving only one independent variable are called ordinary differential equations. Equations with two or more independent variables are called partial differential equation.

Order of a differential equation

An equation having a derivative of nth order but no higher is called an nth order differential equation.

Arbitrary constants

An arbitrary constant, often denoted by a letter at the beginning of the alphabet such as A, B, C, c₁, c₂, etc., may assume values independently of the variables involved. For example in $y = x^2 + c_1x + c_2$ , c₁ and c₂ are arbitrary constants.

The relation of $y = Ae^{-4x + B}$ which can be written $y = Ae^Be^{-4x} = Ce^{-4x}$ actually involves only one arbitrary constant. It’s always assumed that the minimum number of constants is present, i.e. the arbitrary constants are essential.

Solution of a differential equation

A solution of a differential equation is a relation between the variables which is free of derivatives and which satisfies the differential equation identically. $y = x^2 + c_1x + c_2$ is a solution of $y'' = 2$ since by substitution the identity 2 = 2.

A general solution of an nth order differential equation is one involving n (essential) arbitrary constants. Since $y = x^2 + c_1x + c_2$ has two arbitrary constants and satisfies the second order differential equation $y'' = 2$ , it is a general solution of $y'' = 2$ .

A particular solution is a solution obtained from the general solution by assigning specific values to the arbitrary constants. $y = x^2 - 3x + 2$ is a particular solution of $y'' = 2$ and is obtained from the general solution $y = x^2 + c_1x + c_2$ by putting c₁ = -3 and c₂ = 2.

A singular solution is a solution which cannot be obtained from the general solution by specifying values of the arbitrary constants. The general solution of $y = xy' - y'^2$ is $y = cx - c^2$ . However, as seen by substitution another solution is $y = x^2/4$ which cannot be obtained from the general solution for any constant c. This second solution is a singular solution.

Differential equation of a family of curves

A general solution of an nth order differential equation has n arbitrary constants (or parameters) and represents geometrically an n parameter family of curves. Conversely a relation with n arbitrary constants (sometimes called a primitive) has associated with it a differential equation of order n (of which it is a general solution) called the differential equation of the family. This differential equation is obtained by differentiating the primitive n times and then eliminating the n arbitrary constants among the n + 1 resulting equations.

常微分方程式

微分方程式の定義

　微分方程式とは微分を含む方程式のことです．

　ただ一つの独立変数を含む方程式を常微分方程式と呼びます．2つ以上の独立変数を含む方程式を偏微分方程式と呼びます．

微分方程式の階数

　n次の微分を持つ方程式がそれ以上高階の微分を持たない時，n階微分方程式と言います．

任意定数

　任意定数とは，しばしば1文字で記述され A, B, C, c₁, c₂ などのようにアルファベットで始まりますが，関与する変数とは独立しているのを前提にしています．例えば $y = x^2 + c_1x + c_2$ という関数においては c₁ と c₂ が任意定数です．

　 $y = Ae^{-4x + B}$ の式の関係は $y = Ae^Be^{-4x} = Ce^{-4x}$ と記述され，事実上ただ一つの任意定数を伴っています．定数の最小数が存在することを前提にしています．すなわち任意定数は不可欠です．

微分方程式の解

　微分方程式の解は変数間の関係であり，微分を持たず同一の微分方程式を満たすものを言います． $y = x^2 + c_1x + c_2$ は $y'' = 2$ の解であり，2 = 2 の同一性を置換したものです．

　n 階の微分方程式の一般解は唯一の n 個の（不可欠な）任意定数を伴います． $y = x^2 + c_1x + c_2$ が 2 つの任意定数を有し，2 階の微分方程式 $y'' = 2$ を満たすため，それは $y'' = 2$ の一般解です．

　特殊解は一般解の任意定数に特殊な値を割り付けることで得られます． $y = x^2 - 3x + 2$ は $y'' = 2$ の特殊解であり，一般解 $y = x^2 + c_1x + c_2$ に c₁ = -3 および c₂ = 2 を代入することで得られます．

　単解は任意定数の値を特定しても一般解からは得られません． $y = xy' - y'^2$ の一般解は $y = cx - c^2$ です．しかし別の置換法によって見てみると $y = x^2/4$ はいかなる定数 c によっても一般解からは得られません．この後者が単解です．

曲線族の微分方程式

　n 階の微分方程式の一般解は n 個の任意定数（または変数）をもち，n 変数の曲線族を幾何学的に表しています．逆に n 個の任意定数との関連は（時に原始関数とも呼ばれますが） n 階の微分方程式と関連付けられており（故に一般解なのですが）族の微分方程式と呼ばれます．この微分方程式は原始関数を n 回微分することにより得られ，その結果 n + 1 個の方程式の中で n 個の任意定数は消えます．

Complex numbers

Complex numbers arose in order to solve polynomial equations such as $x^2 + 1 = 0$ or $x^2 + x + 1 = 0$ which are not satisfied by real numbers. It’s assumed that a complex number has the form a + bi where a, b are real numbers and i, called imaginary unit, has the property that i² = -1. Complex numbers are defined as follows.

Addition.
$\displaystyle (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Subtraction.
$\displaystyle (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

Multiplication.
$\displaystyle (a + bi)\times(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Division.
$\displaystyle \frac{a + bi}{c + di} = \frac{a + bi}{c + di}\times\frac{c - di}{c - di} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$

The ordinary rules of algebra has been used except that replaces i² by -1 wherever it occurs. The commutative, associative and distributive laws also apply to complex numbers. It’s called a and b of a + bi the real and imaginary parts, respectively. Two complex numbers are equal if and only if their real and imaginary parts are respectively equal.

A complex number z = x + iy can be considered as a point P with coordinates (x, y) on a rectangular xy plane called in this case the complex plane or Argand diagram. If the line would be constructed from origin O to P and let ρ be the distance OP and φ the angle made by OP with the positive x axis, you could have from Figure

$\displaystyle x = \rho \cos\phi,\ y = \rho\sin\phi,\ \rho = \sqrt{x^2 + y^2}$
and could write the complex number in so-called polar form as
$\displaystyle z = x + iy = \rho(\cos\phi + i\sin\phi) = \rho cis\phi$
It’s often called that ρ the modulus or absolute value of of z and denote it by |z|. The angle φ is called the amplitude or argument of z abbreviated arg z. It could be also written $\rho = \sqrt{z\bar{z}}$ where $\bar{z} = x - iy$ is called the conjugate of $z = x + iy$ .

If you write two complex numbers in polar form as
$\displaystyle z_1 = \rho_1(\cos\phi_1 + i\sin\phi_1),\ z_2 = \rho_2(\cos\phi_2 + i\sin\phi_2)$
then
$\displaystyle z_1z_2 = \rho_1\rho_2[\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)]\\\vspace{0.2 in} \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}[\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2)]$
Also if n is any real number, you have
$\displaystyle z^n = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = \rho^n(\cos n\phi + i\sin n\phi)$
which is often called De Moivre’s theorem. You can use this to determine roots of complex numbers. For example if n is a positive integer,
$\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^\frac{1}{n} = \rho^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right)\right\}\\\vspace{0.2 in} \ \ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$
Using the series for e^x, sin x, cos x, you are led to define
$\displaystyle e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi,\ e^{-i\phi} = \cos\phi - i\sin\phi$
which are called Euler’s formulas and which enable you to rewrite equations in terms of exponentials.

複素数

　複素数は $x^2 + 1 = 0$ や $x^2 + x + 1 = 0$ といった実数解を持たない整方程式を解く際に出現します．複素数は a + bi という形をしており，a, b は実数部であり，i は虚数部と呼ばれ，i² = -1 という性質を持ちます．複素数は以下のように定義されます．

加算
$\displaystyle (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
減算
$\displaystyle (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
乗算
$\displaystyle (a + bi)\times(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
除算
$\displaystyle \frac{a + bi}{c + di} = \frac{a + bi}{c + di}\times\frac{c - di}{c - di} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$

　いかなる状況でも i² を -1 で置換することを除けば，代数の通常の定義が用いられます．交換法則，結合法則，分配法則もまた複素数に適用されます．a + bi の a および b はそれぞれ実数部および虚数部と呼ばれます．二つの複素数が等しいとは，実数部と虚数部とがそれぞれ等しい時に限られます．

　ある複素数 z = x + iy は xy 直交平面上の (x, y) 座標の点 P とみなすことができ，この場合この平面を複素平面またはアルガン図と呼びます．仮に原点 O から点 P への直線を引き，OP 間の距離を ρ とし，OP と x 軸のなす角度を φ とすると，次の図を得ます．

$\displaystyle x = \rho \cos\phi,\ y = \rho\sin\phi,\ \rho = \sqrt{x^2 + y^2}$

また複素数をいわゆる極座標系式として以下のように記述できます．

$\displaystyle z = x + iy = \rho(\cos\phi + i\sin\phi) = \rho cis\phi$

　しばしば ρ は z のモジュラスまたは絶対値と呼ばれ，|z| と記述します．角 φ は z の amplitude または argument と呼ばれ，arg z と略記します． $\rho = \sqrt{z\bar{z}}$ とも記述できます．ただし $\bar{z} = x - iy$ は $z = x + iy$ の共役複素数と呼ばれます．

　極座標で複素数を記述すると以下のようになります．

$\displaystyle z_1 = \rho_1(\cos\phi_1 + i\sin\phi_1),\ z_2 = \rho_2(\cos\phi_2 + i\sin\phi_2)$

すると

$\displaystyle z_1z_2 = \rho_1\rho_2[\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)]\\\vspace{0.2 in} \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}[\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2)]$

　仮に n を任意の実数とすると以下を得ます．

$\displaystyle z^n = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = \rho^n(\cos n\phi + i\sin n\phi)$

これはド・モアブルの定理として知られています．これを用いて複素数の根を定義できます．例えば仮に n を正の整数と仮定すると，

$\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^\frac{1}{n} = \rho^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right)\right\}\\\vspace{0.2 in} \ \ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$

e^x, sin x, cos x のための級数を用いると以下の定義に導かれます．

$\displaystyle e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi,\ e^{-i\phi} = \cos\phi - i\sin\phi$

これらはオイラーの公式と呼ばれ，方程式を指数関数の観点から書き直すことができます．

Leibnitz’s rule for differentiating an integral

Let
$\displaystyle I(a) = \int_{a}^{b}f(x, \alpha)dx$
where f is supposed continuous and differentiable. Then Leibnitz’s rule states that if a and b are differentiable functions of α,
$\displaystyle \frac{dI}{d\alpha} = \int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial \alpha}dx + f(b, \alpha)\frac{db}{d\alpha} - f(a, \alpha)\frac{da}{d\alpha}$

積分を微分するためのライプニッツの法則

　今，

$\displaystyle I(a) = \int_{a}^{b}f(x, \alpha)dx$

であるとし，f が連続で微分可能であると仮定します．するとライプニッツの法則により，もし a と b とが共に α の関数を微分可能である時には以下のことが言えます．

$\displaystyle \frac{dI}{d\alpha} = \int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial \alpha}dx + f(b, \alpha)\frac{db}{d\alpha} - f(a, \alpha)\frac{da}{d\alpha}$

Method of Lagrange multipliers

Sometimes you may wish to find the relative maxima or minima of f(x, y) = 0 subject to some constraint condition φ(x, y) = 0. To do this, form the function h(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y) and set
$\displaystyle \partial h/\partial x = 0,\ \partial h/\partial y = 0$
The constant λ is called a Lagrange multiplier and the method is called the method of Lagrange multipliers.

ラグランジュの未定乗数法

　 φ(x, y) = 0 という制約条件のもとで f(x, y) = 0 の極大と極小を求めたくなるかもしれません．このために h(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y) という関数を置き，次のようにします．

$\displaystyle \partial h/\partial x = 0,\ \partial h/\partial y = 0$

　定数 λ はラグランジュ未定乗数と呼ばれ，この方法をラグランジュ未定乗数法と呼びます．

Maxima and minima

If for all x such that |x – a| < δ where f(x) ≤ f(a) [ or f(x) ≥ f(a)], f(a) is a relative maximam [ or relative minimum]. For f(x) to have a relative maximum or minimum at x = a, it must have f'(a) = 0. Then if f”(a) < 0 it is a relative maximum while if f”(a) ≥ 0 it is a relative minimum. Possible points at which f(x) has a relative maxima or minima are obtained by solving f'(x) = 0, i.e. by finding the values of x where the slope of the graph f(x) is equal to zero.

Similarly f(x, y) has a relative maximum or minimum at x = a, y = b if f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0. Thus possible points at which f(x, y) has relative maxima or minima are obtained by solving simultaneously the equations
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0,\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0$
Extensions to functions of more than two variables are similar.

極大と極小

　全ての x について |x – a| < δ であり，また f(x) ≤ f(a) （または f(x) ≥ f(a)）である時，f(a) は極大（または極小）であると言います．

　f(x) が x = a において極大または極小を持つには f'(a) = 0 でなくてはなりません．もし f”(a) < 0 ならそれは極大であり，一方もし f”(a) > 0 ならそれは極小です．f(x) において極大または極小となる可能性のある点は f'(x) = 0 を解くこと，例えば， f(x) のグラフの傾きがゼロと等しくなる x の値を見つけることで得られます．

　同様に f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0 ならば f(x, y) は x = a, y = b において極大または極小を持ちます．故に f(x, y) f(x, y) で極大または極小をもつ可能性のある点は，同様に次の方程式を解くことで得られます．

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0,\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

　2 変数以上の関数への拡張も同様です．

Linear equations and determinants

$\displaystyle a_1x + b_1y = c_1\\\vspace{0.2 in} a_2x + b_2y = c_2\ \cdots(1)$
These represent two lines in the xy plane, and in general will meet in a point whose coordinates (x, y) are found by solving simultaneously.
$\displaystyle x = \frac{c_1b_2 - b_1c_2}{a_1b_2 - b_1a_2},\ y = \frac{a_1c_2 - c_1a_2}{a_1b_2 - b_1a_2}\ \cdots(2)$
It’s convenient to write these in determinant form as
$\displaystyle x = \frac{\left|\begin{array}{cc}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right|},\ y = \frac{\left|\begin{array}{cc}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|}\ \cdots(3)$
where it is defined a determinant of the second order or order 2 to be
$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array}\right| = ad - bc\ \cdots(4)$
It should be noted that the denominator for x and y in (3) is the determinant consisting of the coefficients of x and y in (1). The numerator for x is found by replacing the first column of the denominator by the constants c₁, c₂ on the right side of (1). Similarly the numerator for y is found by replacing the second column of the denominator by c₁, c₂. This procedure is often called Cramer’s rule. In case the denominator in (3) is zero, the two lines represented by (1) do not meet in one point but are either coincident or parallel.

The ideas are easily extended. Thus you can consider the equations
$\displaystyle a_1x + b_1y + c_1z = d_1\\\vspace{0.2 in} a_2x + b_2y + c_2z = d_2\ \cdots(5)\\\vspace{0.2 in} a_3x + b_3y + c_3z = d_3$
representing 3 planes. If they intersect in a point, the coordinates (x, y, x) of this point are found from Cramer’s rule to be
$\displaystyle x = \frac{\left|\begin{array}{ccc}d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|},\ y = \frac{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|},\ z = \frac{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|}\ \cdots(6)$
where it can be defined the determinant of order 3 by
$\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 - (b_1a_2c_3 + a_1c_2b_3 + c_1b_2a_3)\ \cdots(7)$
The determinant can also be evaluated in terms of second order determinants as follows
$\displaystyle a_1\left|\begin{array}{cc}b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3\end{array}\right| - b_1\left|\begin{array}{cc}a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3\end{array}\right| + c_1\left|\begin{array}{cc}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{array}\right|\ \cdots(8)$
where it is noted that a₁, b₁, c₁ are the elements in the first row and the corresponding second order determinants are those obtained from the given third order determinant by removing the row and column in which the element appears.

一次方程式と行列式

$\displaystyle a_1x + b_1y = c_1\\\vspace{0.2 in} a_2x + b_2y = c_2\ \cdots(1)$

　これらは xy 平面における 2 本の直線を示しており，一般に (x, y) 座標で交わる 1 点において同時に解が得られます．

$\displaystyle x = \frac{c_1b_2 - b_1c_2}{a_1b_2 - b_1a_2},\ y = \frac{a_1c_2 - c_1a_2}{a_1b_2 - b_1a_2}\ \cdots(2)$

　これを行列式で表現するのは便利です．

$\displaystyle x = \frac{\left|\begin{array}{cc}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right|},\ y = \frac{\left|\begin{array}{cc}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|}\ \cdots(3)$

　2 次の行列式は次のように定義します．

$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array}\right| = ad - bc\ \cdots(4)$

　強調すべきことですが，(3) で記述した x と y の分母は (1) の x と y の係数を含む行列式です．x の分子は分母の 1 列目を (1) の右側の c₁, c₂ の定数で置換して得られます．同様に y の分子は c₁, c₂ で 2 列目を置換して得られます．この処理はしばしば Crame’s rule と呼ばれます．(3) の分母がゼロの場合は (1) で示される 2 行は1点で交差せず，一致するか平行であるかです．

　この考えは容易に拡張できます．次の方程式を考えてみましょう．

$\displaystyle a_1x + b_1y + c_1z = d_1\\\vspace{0.2 in} a_2x + b_2y + c_2z = d_2\ \cdots(5)\\\vspace{0.2 in} a_3x + b_3y + c_3z = d_3$

3行を示します．これらが 1 点で交わる場合，この点の (x, y, z) 座標は Cramer’s rule から得られます．

$\displaystyle x = \frac{\left|\begin{array}{ccc}d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|},\ y = \frac{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|},\ z = \frac{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|}\ \cdots(6)$

　3 次の行列式は次のように定義されます．

$\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 - (b_1a_2c_3 + a_1c_2b_3 + c_1b_2a_3)\ \cdots(7)$

　この行列式は 2 次の行列式の面で次のように評価されます．

$\displaystyle a_1\left|\begin{array}{cc}b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3\end{array}\right| - b_1\left|\begin{array}{cc}a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3\end{array}\right| + c_1\left|\begin{array}{cc}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{array}\right|\ \cdots(8)$

　ここで強調しておきたいことは，a₁, b₁, c₁ は 1 行目の要素であり，対応する 2 次の行列式は 3 次の行列式からその要素が現れる行と列を除去して得られます．

Taylor series for functions of two or more variables

The ideas involved in Taylor series for functions of one variable can be generalized. For example, the Taylor series for $f(x, y)$ about x = a, y = b can be written
$\displaystyle f(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x -a) + f_y(a, b)(y -b)\\\vspace{0.2 in} \ \ \ + \frac{1}{2!}\big[f_{xx}(a, b)(x - a)^2 + 2f_{xy}(a, b)(x - a)(y - b) + f_{yy}(a, b)(y - b)^2\big] + \cdots$

2変数以上の関数のテーラー級数

　1 変数関数のテーラー級数に関する考えは一般化可能です．例えば， $f(x, y$ の x = a, y = b におけるテーラー級数は下記のように記述できます．

$\displaystyle f(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x -a) + f_y(a, b)(y -b)\\\vspace{0.2 in} \ \ \ + \frac{1}{2!}\big[f_{xx}(a, b)(x - a)^2 + 2f_{xy}(a, b)(x - a)(y - b) + f_{yy}(a, b)(y - b)^2\big] + \cdots$

Partial derivatives

The partial derivatives of $f(x, y)$ with respect to x and y are defined by
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}\\\vspace{0.2 in} \frac{\partial f}{\partial y} = \lim\limits_{k \rightarrow 0} \frac{f(x, y + k) - f(x, y)}{k}$
if these limits exist. It’s often written h = Δx, k = Δy. Note that $\partial f/\partial x$ is simply the ordinary derivative of f with respect to x keeping y constant, while $\partial f/\partial y$ is the ordinary derivative of f with respect to y keeping x constant.

Higher derivatives are defined similarly. For example, you have the second order derivatives
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial x^2}\\\vspace{0.2 in} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\\vspace{0.2 in} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\\\vspace{0.2 in} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y^2}$
The deviation are sometimes denoted f_x and f_y. In such case f_x(a, b), f_y(a, b) denote these partial derivatives evaluated at (a, b).

The deviations are denoted by f_xx, f_xy, f_yx, f_yy respectively. The second and third results will be the same if f has continuous partial derivatives of second order at least.

The differentiation of f(x, y) is defined as
$\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
where h = Δx = dx, k = Δy = dy.

月	火	水	木	金	土	日
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30