日: 2012年12月3日

How to execute χ-square test with cross tabulation?

You can execute \chi^2 test with cross tabulation by such formula as below. In each cells, subtract expected value (E) from observed value (O), square the subtraction, divide the squared by expected value and add them all.

\displaystyle\chi^2(df)=\sum\frac{(O-E)^2}{E}

df: degree of freedom

\chi^2 statistics follows \chi^2 distribution. When degree of freedom is 1, \chi^2 statistics is 3.841 if probability is smaller than 0.05 in one sided test, \chi^2 is 6.635 if p < 0.01, [latex]\chi^2[/latex] is 10.828 if p < 0.001, respectively. In two-tailed test, [latex]\chi^2[/latex] is 5.024 if p < 0.05, [latex]\chi^2[/latex] is 7.879 if p < 0.01, respectively.

  TRUE FALSE Marginal total
POSITIVE a b a + b
NEGATIVE c d c + d
Marginal total a + c b + d N 
\displaystyle \begin{array}{rcl}\chi^2&=&(ad-bc)^2\times\frac{N}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\vspace{0.2in}\\\chi^2(Yates)&=&\left(|ad-bc|-\frac{1}{2}\right)^2\times\frac{N}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\end{array}

四分表（クロス表）からχ二乗検定を行う

　四分表では下記の式でχ二乗統計値を求めるのが一般的ですが，名義変数やアウトカムの取る値が3以上の場合でもχ二乗検定を行うことは可能です．χ二乗統計値とは，全てのセルにおいて観察値 O と期待値 E の差を二乗した値を期待値 E で除し，それらを合計した値のことです．

\displaystyle\chi^2(df)=\sum\frac{(O-E)^2}{E}

df: degree of freedom

　四分表（クロス表）が下記のようである場合，χ二乗統計値は次の通りです．χ二乗統計値はχ二乗分布に従い，自由度1の場合，片側検定で p < 0.05 となるχ二乗統計値は 3.841, p < 0.01 だと 6.635, p < 0.001 だと 10.828 です．両側検定で p < 0.05 となるχ二乗統計値は 5.024, P < 0.01 だと 7.879 です．

  TRUE FALSE Marginal total
POSITIVE a b a + b
NEGATIVE c d c + d
Marginal total a + c b + d N 
\displaystyle \begin{array}{rcl}\chi^2&=&(ad-bc)^2\times\frac{N}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\vspace{0.2in}\\\chi^2(Yates)&=&\left(|ad-bc|-\frac{1}{2}\right)^2\times\frac{N}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\end{array}