日: 2013年12月14日

Sequences and series

A sequence, indicated by u1, u2, …or brief by \langle u_n \rangle, is a function defined on the set of natural numbers. The sequence is said to have the limit l or to converge to l, if given any ε > 0 there exists a number N > 0 such that |un – l| < ε for all n > N, and in such case it is described \lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n =l. If the sequence does not converge, it’s called that it diverges.

Consider the sequence u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3, … or S1, S2, S3, … where Sn = u1 + u2 + … + un. It’s called \langle S_n \rangle the sequence of partial sums of the sequence \langle u_n \rangle. The symbol

\displaystyle u_1 + u_2 + u_3 + \cdots or \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n or briefly \displaystyle \sum u_n

is defined as synonymous with \langle S_n \rangle and is called an infinite series. This series will converge or diverge according as \langle S_n \rangle converges or diverges. If it converges to S it’s called S as the sum of the series.

The following are some important theorems concerning infinite series.

  1. The series \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} converges if p > 1 and diverges if p ≤ 1.
  2. If ∑|un| converges and |vn| ≤ |un|, then ∑|vn| converges.
  3. If ∑|un| converges, then ∑un converges.
  4. If ∑|un| diverges and vn ≥ |un|, then ∑vn diverges.
  5. The series ∑|un|, where |un| = f(n) ≥ 0, converges or diverges according as \displaystyle \int_{1}^{\infty}f(x)dx = \lim\limits_{M \rightarrow \infty}\int_{1}^{M}f(x)dx exists or does not exist. This theorem is often called the integral test.
  6. The series ∑|un| diverges if \displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}|u_n| \neq 0. However, if \displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}|u_n| = 0 the series may or may not converge.
  7. Suppose that \displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_n}\right| = r. Then the series ∑un converges (absolutely) if r < 1 and diverges if r > 1. If r = 1, no conclusion can be drawn. This theorem is often referred to as the ratio test.

数列と級数

　数列は自然数の集合に基いて定義される関数であり，次のように示されます．u1, u2, … 略記すると \langle u_n \rangle となります．任意の ε > 0 があり，ある数 N > 0 が存在し，|un – l| < ε が全ての n > N について成り立つ時，この数列は極限値 l を持つ，または l に収束するといいます．そのような場合には \lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n =l のように記述します．数列が収束しない場合は発散するといいます．

　次のような数列を考えてみます． u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3, … または S1, S2, S3, … ただし Sn = u1 + u2 + … + un．これを \langle S_n \rangle と記述し，数列 \langle u_n \rangle の部分和の数列と呼びます．その記号は

\displaystyle u_1 + u_2 + u_3 + \cdots または \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n または略記して \displaystyle \sum u_n

のように定義し，\langle S_n \rangle と同義であり無限級数と呼びます．この級数が収束するか発散するかは \langle S_n \rangle が収束するか発散するかに依存します．S に収束するなら S は数列の合計と呼びます．

　以下は無限級数についてのいくつかの重要な定理です．

  1. 級数 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} は p > 1 なら収束し， p ≤ 1 なら発散する．
  2. ∑|un| が収束しかつ |vn| ≤ |un| なら ∑|vn| は収束する．
  3. ∑|un| が収束するなら ∑un は収束する．
  4. ∑|un| が発散しかつ vn ≥ |un| なら ∑vn は発散する．
  5. 級数 ∑|un| ただし |un| = f(n) ≥ 0 が収束するか発散するかは \displaystyle \int_{1}^{\infty}f(x)dx = \lim\limits_{M \rightarrow \infty}\int_{1}^{M}f(x)dx が存在するかしないかに依存する．この定理はしばしば積分判定法と呼ばれる．
  6. 級数 ∑|un| は \displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}|u_n| \neq 0 なら発散する．しかしながら，仮に \displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}|u_n| = 0 の場合，級数が収束するか発散するかは分からない．
  7. 次のように仮定してみる．\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_n}\right| = r. すると級数 ∑un converges (absolutely) は r < 1 なら収束し， r > 1 なら発散する．r = 1 の場合結論は一定ではない．この定理はしばしば比判定法として引用される．