月: 2014年3月

ベクトル代数の法則と単位ベクトル

ベクトル代数の法則

　\bold{A}, \bold{B} および \bold{C} がベクトルであり m および n がスカラーであるとすると

\begin{array}{lll}1. & \bold{A} + \bold{B} = \bold{B} + \bold{A} & Communicative Law for Addition\\ 2. & \bold{A} + (\bold{B} + \bold{C}) = (\bold{A} + \bold{B}) + \bold{C} & Associative Law for Addition\\ 3. & m(n\bold{A}) = (mn)\bold{A} = n(m\bold{A}) & Associative Law for Multiplication\\ 4. & (m + n)\bold{A} = m\bold{A} + n\bold{A} & Distributive Law\\ 5. & m(\bold{A} + \bold{B}) = m\bold{A} + m\bold{B} & Distributive Law \end{array}

上記の法則は一つのベクトルと一つ以上のスカラーの積算に適用されることを強調しておきます．

単位ベクトル

　単位ベクトルは単位長を有します．仮に \bold{A} が長さが A > 0 のベクトルなら \bold{A}/A は単位ベクトルであり， \bold{a} と記述し， \bold{A} と同じ方向を有します．

Vector algebra

The operations of addition, subtraction and multiplication familiar in the algebra of numbers are, with suitable definition, capable of extension to an algebra of vectors. The following definitions are fundamental.

  1. Two vectors \bold{A} and \bold{B} are equal if they have the same magnitude and direction regardless of their initial points.
  2. A vector having direction opposite to that of vector \bold{A} but with the same magnitude is denoted by -\bold{A}.
  3. The sum or resultant of vectors \bold{A} and \bold{B} is a vector \bold{C} formed by placing the initial point of \bold{B} on the terminal point of \bold{A} and joining the initial point of \bold{A} to the terminal point of \bold{B}. The sum \bold{C} is written \bold{C} = \bold{A} + \bold{B}. The definition here is equivalent to the parallelogram law for vector addition.
  4. The difference of vectors \bold{A} and \bold{B}, represented by \bold{A} - \bold{B}, is that vector \bold{C} which added to \bold{B} gives \bold{A}. Equivalently, \bold{A} - \bold{B} may be defined as \bold{A} + (-\bold{B}). If \bold{A} = \bold{B}, then \bold{A} - \bold{B} is defined as the null or zero vector and is represented by the symbol \bold{0}. This has a magnitude of zero but its direction is not defined.
  5. Multiplication of vector \bold{A} by a scalar m produces a vector m\bold{A} with magnitude |m| times the magnitude of \bold{A} and direction the same as or opposite to that of \bold{A} according as m is positive or negative. If m = 0, m\bold{A} = \bold{0}, the null vector.

ベクトル代数

　実数の代数においておなじみの加算，減算，積算の演算は，適切に定義すればベクトル代数にも拡張可能です．下記の定義は基本的なものです．

  1. 二つのベクトル \bold{A} と \bold{B} が同じ大きさと方向を有するなら，始点が異なっても 等しい．
  2. あるベクトル \bold{A} と反対の方向を有するが大きさの同じベクトルは -\bold{A} と記述する．
  3. ベクトル \bold{A} と \bold{B} の 和 または 結果 がベクトル \bold{C} であり，\bold{B} の始点を \bold{A} の終点に置き，また \bold{A} の始点を \bold{B} の終点に結合して得られる．和 \bold{C} は \bold{C} = \bold{A} + \bold{B} と記述される．ここでの定義はベクトル加算の 平行四辺形の法則 に等しい．
  4. ベクトル \bold{A} と \bold{B} との 減算 は \bold{A} - \bold{B} と表現し，ベクトル \bold{B} に \bold{C} を加算すると \bold{A} が得られることである．同様に， \bold{A} - \bold{B} は \bold{A} + (-\bold{B}) として定義される．仮に \bold{A} = \bold{B} の時， \bold{A} - \bold{B} は ヌル または 零ベクトル と定義され，記号 \bold{0} で表現される．これは大きさがゼロで方向は定義されていない．
  5. ベクトル \bold{A} にスカラー m を積算する処理はベクトル m\bold{A} であり大きさがベクトル \bold{A} の |m| 倍であり，方向がベクトル \bold{A} と同じか正反対であり， m が正負いずれを取るのかに依存する．仮に m = 0 の時は m\bold{A} = \bold{0} となり，ヌルベクトルである．