The operations of addition, subtraction and multiplication familiar in the algebra of numbers are, with suitable definition, capable of extension to an algebra of vectors. The following definitions are fundamental.
- Two vectors
and
are equal if they have the same magnitude and direction regardless of their initial points.
- A vector having direction opposite to that of vector
but with the same magnitude is denoted by
.
- The sum or resultant of vectors
and
is a vector
formed by placing the initial point of
on the terminal point of
and joining the initial point of
to the terminal point of
. The sum
is written
. The definition here is equivalent to the parallelogram law for vector addition.
- The difference of vectors
and
, represented by
, is that vector
which added to
gives
. Equivalently,
may be defined as
. If
, then
is defined as the null or zero vector and is represented by the symbol
. This has a magnitude of zero but its direction is not defined.
- Multiplication of vector
by a scalar m produces a vector
with magnitude
times the magnitude of
and direction the same as or opposite to that of
according as
is positive or negative. If
,
, the null vector.
日: 2014年3月1日
ベクトル代数
実数の代数においておなじみの加算,減算,積算の演算は,適切に定義すればベクトル代数にも拡張可能です.下記の定義は基本的なものです.
- 二つのベクトル
と
が同じ大きさと方向を有するなら,始点が異なっても 等しい.
- あるベクトル
と反対の方向を有するが大きさの同じベクトルは
と記述する.
- ベクトル
と
の 和 または 結果 がベクトル
であり,
の始点を
の終点に置き,また
の始点を
の終点に結合して得られる.和
は
と記述される.ここでの定義はベクトル加算の 平行四辺形の法則 に等しい.
- ベクトル
と
との 減算 は
と表現し,ベクトル
に
を加算すると
が得られることである.同様に,
は
として定義される.仮に
の時,
は ヌル または 零ベクトル と定義され,記号
で表現される.これは大きさがゼロで方向は定義されていない.
- ベクトル
にスカラー m を積算する処理はベクトル
であり大きさがベクトル
の
倍であり,方向がベクトル
と同じか正反対であり,
が正負いずれを取るのかに依存する.仮に
の時は
となり,ヌルベクトルである.