日: 2014年3月19日

Triple products

Dot and cross multiplication of three vectors \bold{A}, \bold{B} and \bold{C} may produce meaningful products of the form (\bold{A}\cdot\bold{B})\bold{C}, \bold{A}\cdot(\bold{B}\times\bold{C}) and \bold{A}\times(\bold{B}\times\bold{C}). The following laws are valid:

  1. (\bold{A}\cdot\bold{B})\bold{C} \ne \bold{A}(\bold{B}\cdot\bold{C}) in general
  2. \bold{A}\cdot(\bold{B}\times\bold{C}) = \bold{B}\cdot(\bold{C}\times\bold{A}) = \bold{C}\cdot(\bold{A}\times\bold{B}) is volume of a parallelepiped having \bold{A}, \bold{B}, and \bold{C} as edges, or the negative of this volume according as \bold{A}, \bold{B} and \bold{C} do or do not form a right-handed system. If \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}, \bold{B} = B_1\bold{i} + B_2\bold{j} + B_3\bold{k} and \bold{C} = C_1\bold{i} + C_2\bold{j} + C_3\bold{k}, then
    \displaystyle \bold{A}\cdot(\bold{B}\times\bold{C}) = \left|\begin{array}{ccc} A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{array}\right|\cdots (6)
  3. \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) \ne (\bold{A} \times \bold{B}) \times \bold{C}
  4. \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) = (\bold{A} \cdot \bold{C})\bold{B} - (\bold{A} \cdot \bold{B})\bold{C}\\ (\bold{A} \times \bold{\bold{B}}) \times \bold{C} = (\bold{A} \cdot \bold{C})\bold{B} - (\bold{B} \cdot \bold{C})\bold{A}

The product \bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) is sometimes called the scalar triple product or box product and may be denoted by \left[\bold{ABC}\right]. The product \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) is called the vector triple product.

In \bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) parentheses are sometimes omitted and we write \bold{A} \cdot \bold{B} \times \bold{C}. However, parentheses must be used in \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}). Note that \bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) = (\bold{A} \times \bold{B}) \cdot \bold{C}. This is often expressed by stating that in a scalar triple product the dot and the cross can be interchanged without affecting the result.

三重積

　3つのベクトル \bold{A}, \bold{B} および \bold{C} のドット積及びクロス積は以下の形をした意義深い積を生み出すかもしれません． (\bold{A}\cdot\bold{B})\bold{C}, \bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) および \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C})．以下の法則が有効です．

  1. (\bold{A}\cdot\bold{B})\bold{C} \ne \bold{A}(\bold{B}\cdot\bold{C})
  2. \bold{A}\cdot(\bold{B}\times\bold{C}) = \bold{B}\cdot(\bold{C}\times\bold{A}) = \bold{C}\cdot(\bold{A}\times\bold{B}) は \bold{A}, \bold{B}, および \bold{C} を辺とする平行六面体の体積であり， \bold{A}, \bold{B} および \bold{C} が右手系をなすか否かに従って負の体積を有することもある．仮に \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}, \bold{B} = B_1\bold{i} + B_2\bold{j} + B_3\bold{k} および \bold{C} = C_1\bold{i} + C_2\bold{j} + C_3\bold{k} ならば
    \displaystyle \bold{A}\cdot(\bold{B}\times\bold{C}) = \left|\begin{array}{ccc} A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{array}\right|\cdots (6)
  3. \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) \ne (\bold{A} \times \bold{B}) \times \bold{C}
  4. \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) = (\bold{A} \cdot \bold{C})\bold{B} - (\bold{A} \cdot \bold{B})\bold{C}\\ (\bold{A} \times \bold{\bold{B}}) \times \bold{C} = (\bold{A} \cdot \bold{C})\bold{B} - (\bold{B} \cdot \bold{C})\bold{A}

　積 \bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) は時に スカラー三重積 または box product と呼ばれ， \left[\bold{ABC}\right] と記述します．積 \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) は ベクトル三重積 と呼ばれます．

　\bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) においては括弧は時に省略され， \bold{A} \cdot \bold{B} \times \bold{C} と記述します．しかしながら括弧は \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) においては絶対に必要です．\bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) = (\bold{A} \times \bold{B}) \cdot \bold{C} であることに注意してください．これはスカラー三重積においてはドット積とクロス積が入れ替わっても結果が変わらないことを示しています．