日: 2014年3月20日

Vector functions

If corresponding to each value of a scalar u we associate a vector \bold{A}, then \bold{A} is called a function of u denoted by \bold{A}(u). In there dimensions we can write \bold{A}(u) = A_1(u)\bold{i} + A_2(u)\bold{j} + A_3(u)\bold{k}.

The function concept is easily extended. Thus if to each point (x, y, z) there corresponds a vector \bold{A}, then \bold{A} is a function of (x, y, z), indicated by \bold{A} = A_1(x, y, z)\bold{i} + A_2(x, y, z)\bold{j} + A_3(x, y, z)\bold{k}.

We sometimes say that a vector function \bold{A}(x, y, z) defines a vector field since it associates a vector with each point of a region. Similarly \phi(x, y, z) defines a scalar field since it associates a scalar with each point of a region.

ベクトル関数

　仮に対応する各々のスカラー u にベクトル \bold{A} を関連付けるなら \bold{A} は u の 関数 と呼ばれ \bold{A}(u) と記述します．3次元では \bold{A}(u) = A_1(u)\bold{i} + A_2(u)\bold{j} + A_3(u)\bold{k} と書くことができます．

　関数の概念は容易に拡張できます．ゆえにもし各々の点 (x, y, z) に対して対応するベクトル \bold{A} が存在するなら \bold{A} は (x, y, z) の関数であり \bold{A} = A_1(x, y, z)\bold{i} + A_2(x, y, z)\bold{j} + A_3(x, y, z)\bold{k} によって示されます．

　時に，ベクトル関数 \bold{A}(x, y, z) はそれが1つの地域のベクトルの各点に関連するゆえに ベクトル場 を定義する，と言うことがあります．同様に \phi(x, y, z) はそれが1つの地域の各点のスカラーに関連するゆえに1つの スカラー場 を定義します．