日: 2014年4月23日

Orthogonal vectors

The scalar or dot product of two vectors a_1\bold{i} + a_2\bold{j} + a_3\bold{k} and b_1\bold{i} + b_2\bold{j} + b_3\bold{k} is a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 and the vectors are perpendicular or orthogonal if a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0. From the point of view of matrices we can consider these vectors as column vectors

\displaystyle A = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right),\ B = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right)

from which it follows that A^TB = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

This leads us to define the scalar product of real column vectors A and B as A^TB and to define A and B to be orthogonal if A^TB = 0.

It is convenient to generalize this to cases where the vectors can have complex components and we adopt the following definition:

Definition 1. Two column vectors A and B are called orthogonal if \bar{A}^TB = 0 , and \bar{A}^TB is called the scalar product of A and B.

It should be noted also that if A is a unitary matrix then \bar{A}^TA = 1, which means that the scalar product of A with itself is 1 or equivalently A is a unit vector, i.e. having length 1. Thus a unitary column vector is a unit vector. Because of these remarks we have the following

Definition 2. A set of vectors X_1,\ X_2,\ \cdots for which

\displaystyle \bar{X}^T_jX_k = \left\{\begin{array}{cc} 0 & j \ne k \\ 1 & j = k \end{array} \right.

is called a unitary set or system of vectors or, in the case where the vectors are real, an orthonormal set or an orthogonal set of unit vectors.

直交ベクトル

　二つのベクトル a_1\bold{i} + a_2\bold{j} + a_3\bold{k} および b_1\bold{i} + b_2\bold{j} + b_3\bold{k} のスカラー積またはドット積は a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 であり， a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 ならばそれらのベクトルは垂直または直交します．行列の観点からこれらのベクトルは列ベクトルと考えることができます．

\displaystyle A = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right),\ B = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right)

これらは A^TB = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 という性質があります．

　これにより 実数の列ベクトル A および B の内積 を A^TB と定義し， A^TB = 0 なら A および B は 直交 するとの定義に至ります．

　これらを複素数を要素に持つ場合に一般化し，次の定義を採用するのは便利です．

定義 1. 二つの列ベクトル A および B は \bar{A}^TB = 0 なら 直交 と呼び， \bar{A}^TB は A および B の スカラー積 と呼びます．

　仮に A がユニタリ行列なら \bar{A}^TA = 1 であることに注意が必要です．それは A とそれ自身とのスカラー積が 1 であり， A が 単位ベクトル であることすなわち長さが 1 であることと等価です．ゆえにユニタリ列ベクトルは単位ベクトルです．これらの特徴から以下を得ます．

定義 2. ベクトルの集合 X_1,\ X_2,\ \cdots について

\displaystyle \bar{X}^T_jX_k = \left\{\begin{array}{cc} 0 & j \ne k \\ 1 & j = k \end{array} \right.

を unitary set or system of vectors と呼び，あるいはベクトルが実数の場合には 正規直交の集合 または 単位ベクトルの直交の集合 と呼びます．