日: 2014年4月25日

Systems of n equations in n unknowns. Cramer’s rule

If m = n and if A is a non-singular matrix so that A^{-1} exists, we can solve (17) or (18) by writing

X = A^{-1}R \cdots(19)

and the system has a unique solution.

Alternatively we can express the unknowns x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n as

\displaystyle x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta},\ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta},\ \cdots,\ x_n = \frac{\Delta_n}{\Delta} \cdots (20)

where \Delta = \det(A), called the determinant of the system, is given by (9) and \Delta_k,\ k = 1,\ 2,\ \cdots,\ n is the determinant obtained from \Delta by removing the kth column and replacing it by the column vector R. The rule expressed in (20) is called Cramer’s rule.

The following four cases can arise.

Case 1, \Delta \ne 0,\ R \ne 0 . In this case there will be a unique solution where not all x_k will be zero.

Case 2, \Delta \ne 0,\ R = 0 . In this case the only solution will be x_1 = 0,\ x_2 = 0,\ \cdots,\ x_n = 0, i.e. X = 0. This is often called the trivial solution.

Case 3, \Delta = 0,\ R = 0 . In this case there will be infinitely many solutions other than the trivial solution. This means that at least one of the equations can be obtained from the others, i.e. the equations are linearly dependent.

Case 4, \Delta = 0,\ R \ne 0 . In this case infinitely many solutions will exist if and only if all of the determinants \Delta_k in (20) are zero. Otherwise there will be no solution.

n個の未知数におけるn個の連立方程式，クラメールの公式

　仮に m = n であって更に A が正則行列つまり A^{-1} が存在するなら，以下のように記述して (17) または (18) を解くことができます．

X = A^{-1}R \cdots(19)

更にこの連立方程式は一意解を持ちます．

　代わりに未知数 x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n を以下のように表現することもあります．

\displaystyle x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta},\ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta},\ \cdots,\ x_n = \frac{\Delta_n}{\Delta} \cdots (20)

ここで \Delta = \det(A) は 連立方程式の行列式 と呼び， (9) により与えられまた \Delta_k,\ k = 1,\ 2,\ \cdots,\ n は \Delta から k 番目の列を除去して列ベクトル R に置換して与えられる行列式です．(20) に表した公式を クラメールの公式 と言います．

　下記の4つの場合が考えられます．

例 1, \Delta \ne 0,\ R \ne 0 . この場合一意解が存在するはずで，全てでない x_k はゼロに違いありません．

例 2, \Delta \ne 0,\ R = 0 . この場合唯一の解は x_1 = 0,\ x_2 = 0,\ \cdots,\ x_n = 0 です．すなわち X = 0 です．しばしば 自明な解 と呼びます．

例 3, \Delta = 0,\ R = 0 . この場合自明解以外に無限に多くの解が存在するはずです．この時少なくとも一つの方程式が他の方程式から得られます．すなわちその方程式は線形従属です．

例 4, \Delta = 0,\ R \ne 0 . この場合 (20) におけるすべての行列式 \Delta_k がゼロの時にのみ無限に多くの解が存在する筈です．他の場合は解は存在しません．