日: 2014年4月28日

Operator interpretation of matrices

If A is an n \times n matrix, we can think of it as an operator or transformation acting on a column vector X to produce AX which is another column vector. With this interpretation equation (21) asks for those vectors X which are transformed by A into constant multiples of themselves [or equivalently into vectors which have the same direction but possibly different magnitude].

If case A is an orthogonal matrix, the transformation is a rotation and explains why the absolute value of all the eigenvalues in such case are equal to one, since an ordinary rotation of a vector would not change its magnitude.

The ideas of transformation are very convenient in giving interpretations to many properties of matrices.

行列演算子の解釈

仮に A が n \times n 次行列とすると，列ベクトル X に作用して別の列ベクトル AX を形成する演算子 または 変換 と考えることができます．この解釈によると方程式 (21) はそれらのベクトル X に， A によりそれら自身の定数倍（または同じ方向を持ち大きさの異なる同等のベクトル）に変換されたのはどちらだろうかという疑問が生じます．

　仮に A が直交行列の場合，その変換は 回転 となり，そのような場合になぜ全ての固有値の絶対値が 1 に等しくなるか説明できます．なぜなら通常ベクトルの回転はその大きさを変えないからです．

　この変換の考えは行列の属性への解釈を与える際に非常に便利です．