日: 2014年7月21日

ITERATED INTEGRALS

Fig. 6-1

If \cal R is such that any lines parallel to the y axis meet the boundary of \cal R in at most two points, then we can write the equation of the curves ACB and ADB bounding \cal R as y = f_1(x) and y = f_2(x) respectively, where f_1(x) and f_2(x) are single-valued and continuous in a \le x \le b. In this case we can evaluate the double integral (3) by choosing the regions \Delta \cal R as rectangles formed by constracting a grid of lines parallel to the x and y axes and \Delta A_k as the corresponding areas. Then (3) can be written

\displaystyle \iint_{\cal R} F(x, y)dxdy = \int_{x=a}^{b}\int_{y=f_1(x)}^{f_2(x)}F(x, y)dydx = \int_{x=a}^{b}\left\{\int_{y=f_1(x)}^{f_2(x)}F(x, y)dy\right\}dx\cdots(4)

where the integral in braces is to be evaluated first (keeping x constant) and finally integrating with respect to x from a to b. The result (4) indicates how a double integral can be evaluated by expressing it in terms of two single integrals called iterated integrals.

If \cal R is such that any lines parallel to the x axis meet the boundary of \cal R in at most two points, then the equations of curves CAD and CBD can be written x = g_1(y) and x = g_2(y) respectively and we find similarly

\displaystyle \iint_{\cal R}F(x,y)dxdy = \int_{y=c}^{d}\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)}F(x,y)dxdy = \int_{y=c}^{d}\left\{\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)}F(x,y)dx\right\}dy\cdots(5)

If the double integral exists, (4) and (5) will in general yield the same value. In writing a double integral, either of the forms (4) or (5), whichever is appropriate, may be used. We call one form an interchange of the order of integration with respect to the other form.

In case \cal R is not of the type shown in the above figure, it can generally be subdivided into regions {\cal R}_1,\ {\cal R}_2,\ \dots which are of this type. Then the double integral over \cal R is found by taking the sum of the double integrals over {\cal R}_1,\ {\cal R}_2,\ \dots.

逐次積分

Fig. 6-1

仮に \cal R が y 軸に平行なあらゆる線が，せいぜい2点における \cal R の境界に接するなら， \cal R に接する曲線 ACB および ADB の等式をそれぞれ y = f_1(x) および y = f_2(x) と記述できます．ここで f_1(x) および f_2(x) は a \le x \le b において単一値で連続です．この場合，二重積分 (3) を評価できます．領域 \Delta \cal R を x 軸及び y 軸に平行な直線でグリッドを形成し， \Delta A_k をそれに対応する面積とする長方形として選択します．ゆえに (3) は次のように記述できます．

\displaystyle \iint_{\cal R} F(x, y)dxdy = \int_{x=a}^{b}\int_{y=f_1(x)}^{f_2(x)}F(x, y)dydx = \int_{x=a}^{b}\left\{\int_{y=f_1(x)}^{f_2(x)}F(x, y)dy\right\}dx\cdots(4)

ここで（ x を定数として扱い）括弧内の積分を最初に評価し，最後に x について a から b まで積分します．その結果 (4) は二重積分がどう評価されるかを示しています．それを2つの単独の積分という面で表現すると 逐次積分 と呼びます．

仮に \cal R において，2点で \cal R の境界に接する x 軸に平行ないかなる直線でも曲線 CAD および CBD の式は x = g_1(y) および x = g_2(y) と記述でき，同様に以下のことが分かります．

\displaystyle \iint_{\cal R}F(x,y)dxdy = \int_{y=c}^{d}\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)}F(x,y)dxdy = \int_{y=c}^{d}\left\{\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)}F(x,y)dx\right\}dy\cdots(5)

仮に二重積分が存在するなら (4) および (5) からは一般に同じ値が得られる筈です．二重積分を記述する際， (4) または (5) のいずれの形でも適切な方が用いられます．これを他には 積分順序の交換 とも呼びます．

\cal R が上図で表現した形でない場合は，この形 {\cal R}_1,\ {\cal R}_2,\ \dots に細分化します．ゆえに \cal R の二重積分は {\cal R}_1,\ {\cal R}_2,\ \dots の二重積分の和として見つかります．