日: 2014年7月28日

TRIPLE INTEGRALS

Fig6-x

The above results are easily generalized to closed regions in three dimensions. For example, consider a function F(x, y, z) defined in a closed three dimensional region \cal R. Subdivided the region into n subregions of volume \Delta V_k,\ k = 1,\ 2,\ \dots,\ n. Letting (\xi_k, \eta_k, \zeta_k) be some point in each subregion, we form

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}F(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta V_k\cdots(6)

where the number n of subdivisions approaches infinity in such a way that the largest linear dimension of each subregion approaches zero. If this limit exists we denote it by

\displaystyle \underset{\cal R}{\iiint}F(x, y, z)dV\cdots(7)

called the triple integral of F(x, y, z) over \cal R. The limit dose exist if F(x, y, z) is continuous (or piecewise continuous) in \cal R.

If we construct a grid consisting of planes parallel to the xy, yz and xz planes, the region \cal R is subdivided into subregions which are rectangular parallelepipeds. In such case we can express the triple integral over \cal R given by (7) as an iterated integral of the form

\displaystyle \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)}F(x, y, z)dxdydz = \\ \int_{x=a}^{b} \left [ \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} \left \{ \int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} F(x, y, z)dz \right \} dy \right ] dx\cdots(8)

(where the innermost integral is to be evaluated first) or the sum of such integrals. The integration can also be performed in any other order to give an equivalent result.

Extensions to higher dimensions are also possible.

三重積分

Fig6-x

　上述の結果は3次元での閉じた領域に容易に拡張できます．例えば，3次元の閉領域 \cal R において定義される関数 F(x, y, z) について考えてみましょう．その領域を体積 \Delta V_k,\ k = 1,\ 2,\ \dots,\ n で n 個の小領域に細分化します． (\xi_k, \eta_k, \zeta_k) を各々の小領域内のある点とすると，以下を形成します．

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}F(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta V_k\cdots(6)

ここで細分化の個数 n は無限大に増大し，各々の小領域の最大線長はゼロに近づきます．仮にこの極限が存在するなら次のように記述します．

\displaystyle \underset{\cal R}{\iiint}F(x, y, z)dV\cdots(7)

これを \cal R における F(x, y, z) の 三重積分 と呼びます． F(x, y, z) が \cal R において連続または区間的に連続ならその極限は存在します．

　xy, yz および xz 平面に平行な平面でグリッドを形成するなら，領域 \cal R は直方体の小領域に細分化されます．そのような場合，(7) で与えられる \cal R における三重積分を 逐次積分 と表現します．

\displaystyle \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)}F(x, y, z)dxdydz = \\ \int_{x=a}^{b} \left [ \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} \left \{ \int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} F(x, y, z)dz \right \} dy \right ] dx\cdots(8)

ここで最内側の積分を最初に評価し，またそのような積分の和として表現します．その積分は同等の結果を与える任意の他の順序で行うことができます．

　より高次への一般化も容易です．