日: 2014年10月6日

THE DIVERGENCE THEOREM

Let S be a closed surface bounding a region of volume V. Choose the outward drawn normal to the surface as the positive normal and assume that \alpha,\ \beta,\ \gamma are the angles which this normal makes with the positive x, y and z axes respectively. Then if A_1,\ A_2 and A_3 are continuous and have continuous partial derivatives in the region

\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}(A_1\cos\alpha + A_2\cos\beta + A_3\cos\gamma)dS\cdots(35)

which can also be written

\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}[ A_1dydz + A_2dzdx + A_3dxdy ]\cdots (36)

In vector form with \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k} and \bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k} , these can be simply written as

\displaystyle \underset{V}{\iiint}\nabla\cdot\bold{A}dV = \underset{S}{\iint}\bold{A}\cdot\bold{n}dS\cdots(37)

In words this theorem, called the divergence theorem or Green’s theorem in space, states that the surface is equal to the integral of the normal component of a vector \bold{A} taken over a closed surface is equal to the integral of the divergence of \bold{A} taken over the volume enclosed by the surface.

発散定理

　ガウスの発散定理とも呼ばれる定理です．発散を，ベクトル場 \bold{A} 内における容積 V の単位体積あたりの湧出量と捉えると，定理の左辺の意味は『容積 V 内全体での流量の変化量』を表わすと考えられ，右辺は『この容積 V の表面 S における \bold{A} の法線方向成分』と考えられます．流量には水流，電場，磁場などを考えます．

　S を容積 V の領域を境する閉曲面とします．その面の外側に向けて引かれた法線を選択し 正の法線 とします．また \alpha,\ \beta,\ \gamma をこの法線が正の x 軸，y 軸及び z 軸に対してそれぞれなす角とします．そこで仮に A_1,\ A_2 および A_3 が連続で，この領域で連続な偏微分を有するなら

\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}(A_1\cos\alpha + A_2\cos\beta + A_3\cos\gamma)dS\cdots(35)

ここで上記は以下のようにも記述できます．

\displaystyle \underset{V}{\iiint}\left( \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z} \right)dV = \underset{S}{\iint}[ A_1dydz + A_2dzdx + A_3dxdy ]\cdots (36)

　 \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k} および \bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k} のベクトルの形では，以下のようにシンプルに記述できます．

\displaystyle \underset{V}{\iiint}\nabla\cdot\bold{A}dV = \underset{S}{\iint}\bold{A}\cdot\bold{n}dS\cdots(37)

　これを定理の言葉では 発散定理 または 空間におけるグリーンの定理 と呼び，その面は閉曲面にわたるベクトル \bold{A} の法線要素の積分に等しいとの状態は，その面に囲まれた容積にわたる \bold{A} の発散の積分に等しくなります．