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ストークスの定理

　S を表裏のある開いた面とし，閉じた交差しない曲線 C （単純閉曲線）で囲まれているとします． S に垂直な直線が S の一方の側にあれば正と考え， S の反対側にあれば負と考えます．いずれの面が正となるかは任意ですが，あらかじめ決めておく必要があります．仮に観察者が S の境界線上を歩きながら，その頭が正の法線方向を指していてその面を左に見ているなら C の方向または反時計周りを正と呼びます．そこで仮に A_1,\ A_2,\ A_3 が単一値で連続で， S を含む空間内のある領域において連続な一階偏微分を有するなら，以下を得ます．

\displaystyle \int_C[A_1dx + A_2dy + A_3dz] =\\\vspace{0.2in} \underset{S}{\iint}\left[ \left( \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} \right)\cos\alpha + \left( \frac{\partial A_1}{\partial z} -\frac{\partial A_3}{\partial x} \right)\cos\beta + \left( \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y} \right)\cos\gamma \right]dS \cdots(38)

　ベクトルの形では \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k} および \bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k} これは以下のように簡潔に表現できます．

\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = \underset{S}{\iint}(\nabla\times\bold{A})\cdot\bold{n}dS\cdots(39)

　つまりこの定理では， ストークスの定理 と呼びますが，単純閉曲線 C に渡るベクトル \bold{A} の接線要素の線積分は， C を境界とする任意の面 S に渡るベクトル A の回転の法線要素の面積分に等しいと言えます．特殊例として (39) において \nabla\times\bold{A} = 0 とした場合，その結果 (28) を得ることに注意が必要です．