線積分

ストークスの定理

　 $S$ を表裏のある開いた面とし，閉じた交差しない曲線 $C$ （単純閉曲線）で囲まれているとします． $S$ に垂直な直線が $S$ の一方の側にあれば正と考え， $S$ の反対側にあれば負と考えます．いずれの面が正となるかは任意ですが，あらかじめ決めておく必要があります．仮に観察者が $S$ の境界線上を歩きながら，その頭が正の法線方向を指していてその面を左に見ているなら $C$ の方向または反時計周りを正と呼びます．そこで仮に $A_1,\ A_2,\ A_3$ が単一値で連続で， $S$ を含む空間内のある領域において連続な一階偏微分を有するなら，以下を得ます．

$\displaystyle \int_C[A_1dx + A_2dy + A_3dz] =\\\vspace{0.2in} \underset{S}{\iint}\left[ \left( \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} \right)\cos\alpha + \left( \frac{\partial A_1}{\partial z} -\frac{\partial A_3}{\partial x} \right)\cos\beta + \left( \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y} \right)\cos\gamma \right]dS \cdots(38)$

　ベクトルの形では $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ および $\bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k}$ これは以下のように簡潔に表現できます．

$\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = \underset{S}{\iint}(\nabla\times\bold{A})\cdot\bold{n}dS\cdots(39)$

　つまりこの定理では， ストークスの定理 と呼びますが，単純閉曲線 $C$ に渡るベクトル $\bold{A}$ の接線要素の線積分は， $C$ を境界とする任意の面 $S$ に渡るベクトル $A$ の回転の法線要素の面積分に等しいと言えます．特殊例として (39) において $\nabla\times\bold{A} = 0$ とした場合，その結果 (28) を得ることに注意が必要です．

線積分の評価

　仮に平面 $z = 0$ における曲線 C の式が $y = f(x)$ で与えられるなら，積分の定義を得るために線積分 (14) は被積分関数内で $y = f(x),\ dy = f'(x)dx$ と置換されて評価されます．

$\displaystyle \int_{a_1}^{a_2}[P\{x, f(x)\}dx + Q\{x, f(x)\}f'(x)dx] \cdots(19)$

上記は通常の方法で評価します．

　同様に仮に C が $x = g(y)$ として与えられるなら $dx = g'(y)dy$ となり線積分は以下のようになります．

$\displaystyle \int_{b_1}^{b_2}[P\{g(y), y\}g'(y)dy + Q\{g(y), y\}dy]\cdots(20)$

　仮に C がパラメーター形式 $x = \phi(t),\ y = \psi(t)$ で与えられるなら，線積分は以下のようになります．

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} [P\{ \phi(t),\ \psi(t) \}\phi'(t)dt + Q\{ \phi(t),\ \psi(t) \}\psi'(t)dt] \cdots (21)$

ここで $t_1$ および $t_2$ は点 $A$ および点 $B$ に対応する $t$ の値を示します．

　上記方法の組み合わせを評価に用います．

　同様の方法で空間曲線に沿った線積分の評価を行います．

線積分のベクトル表記

　簡潔な記法同様，物理学的・地理的な理解のために線積分をベクトルの形で表現することはしばしば便利です．例えば，線積分 (15) を次の形で表現できます．

$\displaystyle \int_{C}[A_1dx + A_2dy + A_3dz] \\ = \int_{C} (A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}) \cdot (dx\bold{i} + dy\bold{j} + dz\bold{k})\\ = \int_{C} \bold{A}\cdot d\bold{r} \cdots (17)$

ここで $\bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}$ および $d\bold{r} = dx\bold{i} + dy\bold{j} + dz\bold{k}$ です．線積分 (14) は $z = 0$ の時の特殊型です．

　各点 (x, y, z) をある物体に作用する力 F と関連付けるなら（例　仮にある力場が定義されると)，

$\displaystyle \int_{C} \bold{F}\cdot d\bold{r}\cdots(18)$

上記は曲線 C に沿ってなされた物理的な総仕事量を表現します．

　C を xy 平面において 2 点 $A (a_1, b_1)$ および $B (a_2, b_2)$ をつなぐ曲線とします（Fig. 6-2参照）． $P(x, y)$ および $Q(x, y)$ を曲線 C 上のすべての点を定義する単一値関数とします． $(x_1, y_1),\ (x_2, y_2),\ \dots,\ (x_{n-1}, y_{n-1})$ により得られた n – 1 個の点を選択して C を n 個に細分化します．Call $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$ および $\Delta y_k = y_k - y_{k-1},\ k = 1,\ 2,\ \dots\ n$ を呼び，C 上にあり点 $(x_{k-1}, y_{k-1})$ および点 $(x_k, y_k)$ の間にあるような点 $(\xi_k, \eta_k)$ を想定します．以下のように和を形成します．

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{P(\xi_k, \eta_k)\Delta x_k + Q(\xi_k, \eta_k)\Delta y_k\}\cdots(13)$

　仮に極限が存在するなら $n\rightarrow\infty$ となるにつれ全ての $\Delta x_k,\ \Delta y$ の量はゼロに近づき，この和の極限を C 周りの 線積分 と呼び，以下のように記述します．

$\displaystyle \int_C \left[ P(x, y)dx + Q(x, y)dy \right]$ または $\displaystyle \int_{(a_1, b_1)}^{(a_2, b_2)}\left[ Pdx + Qdy \right]\cdots(14)$

　P および Q が C 上の全ての点について連続（または区間的に連続）ならこの極限は存在します．その積分値は一般に P, Q, 特に曲線 C に依存し，また $(a_1, b_1)$ および $(a_2, b_2)$ の極限に依存します．

　正確に類似した方法で 3 次元空間における曲線 C 周りの線積分を以下のように定義できるでしょう．

$\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ A_1(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta x_k + A_2(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta y_k + A_3(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\Delta z_k \right\} \\ = \int_C \left[ A_1dx + A_2dy + A_3dz \right] \cdots(15)$

ここで $A_1$ , $A_2$ および $A_3$ は $x$ , $y$ および $z$ の関数です．