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ストークスの定理

　S を表裏のある開いた面とし，閉じた交差しない曲線 C （単純閉曲線）で囲まれているとします． S に垂直な直線が S の一方の側にあれば正と考え， S の反対側にあれば負と考えます．いずれの面が正となるかは任意ですが，あらかじめ決めておく必要があります．仮に観察者が S の境界線上を歩きながら，その頭が正の法線方向を指していてその面を左に見ているなら C の方向または反時計周りを正と呼びます．そこで仮に A_1,\ A_2,\ A_3 が単一値で連続で， S を含む空間内のある領域において連続な一階偏微分を有するなら，以下を得ます．

\displaystyle \int_C[A_1dx + A_2dy + A_3dz] =\\\vspace{0.2in} \underset{S}{\iint}\left[ \left( \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} \right)\cos\alpha + \left( \frac{\partial A_1}{\partial z} -\frac{\partial A_3}{\partial x} \right)\cos\beta + \left( \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y} \right)\cos\gamma \right]dS \cdots(38)

　ベクトルの形では \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k} および \bold{n} = \cos\alpha\bold{i} + \cos\beta\bold{j} + \cos\gamma\bold{k} これは以下のように簡潔に表現できます．

\displaystyle \int_C \bold{A}\cdot d\bold{r} = \underset{S}{\iint}(\nabla\times\bold{A})\cdot\bold{n}dS\cdots(39)

　つまりこの定理では， ストークスの定理 と呼びますが，単純閉曲線 C に渡るベクトル \bold{A} の接線要素の線積分は， C を境界とする任意の面 S に渡るベクトル A の回転の法線要素の面積分に等しいと言えます．特殊例として (39) において \nabla\times\bold{A} = 0 とした場合，その結果 (28) を得ることに注意が必要です．

面積分

Fig. 6-3
Fig. 6-3

　S を Fig. 6-3 に示すように xy 平面への射影 \cal R を有する表裏のある面とします． S を表す式を z = f(x, y) とし， f は単一値で，\cal R において全ての x および y について連続であると仮定します． \cal R を n 個の領域 \Delta A_p,\ p = 1,\ 2,\ \dots,\ n に細分化し，各々の小領域の上に垂直な柱を立て，領域 \Delta S_p において S と交差させます．

　 \phi (x, y, z) を単一値で S 上のあらゆる点で連続であるとします．次の和を考えます．

\displaystyle \sum_{p=1}^{n}\phi(\xi_p, \eta_p, \zeta_p)\Delta S_p \cdots(29)

ここで (\xi_p, \eta_p, \zeta_p) は \Delta S_p 上の任意の点です．仮に n \rightarrow \infty の時各々の \Delta S_p \rightarrow 0 となるこの和の極限が存在するなら，結果の極限は \phi(x, y, z) の S 上の 面積分 と呼ばれ，以下により指定されます．

\displaystyle \underset{S}{\iint}\phi(x, y, z)dS\cdots(30)

　およそ \Delta S_p = |\sec\gamma_p|\Delta A_p であるため，ここで \gamma_p は S への法線および z 軸とのなす角であり，和 (29) の極限は以下のように記述できます．

\displaystyle \underset{\cal R}{\iint}\phi(x, y, z)|\sec\gamma|dA\cdots(31)

　 |\sec\gamma| の大きさは以下で得られます．

\displaystyle |\sec\gamma| = \frac{1}{|\bold{n}_p\cdot\bold{k}|} = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}\cdots(32)

　そこで x = f(x, y) は \cal R において連続（又は区間的に連続）な微分係数を有していると仮定すると (31) は直交系においては次の形で記述できます．

\displaystyle \underset{\cal R}{\iint}\phi(x, y, z)\sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}dxdy \cdots(33)

　 S の式が F(x, y, z) = 0 の形で与えられる場合は (33) は次の形で記述することもできます．

\displaystyle \underset{S}{\iint}\phi(x, y, z)\frac{\sqrt{(F_x)^2 + (F_y)^2 + (F_z)^2}}{|F_z|}dxdy\cdots(34)

　その結果 (33) または (34) は (30) を評価するのに用いることができます．

　上記においては S は z 軸に平行ないかなる線も面 S とただ 1 点において交差するような面であることを前提としています．面 S がこのタイプでない例においては，普通 S を S_1,\ S_2,\ \dots に分割してこのタイプにすることができます．そこで面 S 上の面積分を S_1,\ S_2,\ \dots 上の面積分の和と定義できます．

　この結果は S が xy 平面 における領域 \cal R への射影の時保持されます．場合によっては S を yz または xz 平面に射影したほうが良いこともあります．そのような場合は (30) は (33) および (34) を適切に修正することで評価されます．