数列と級数 | Improve Society

　数列は自然数の集合に基いて定義される関数であり，次のように示されます．u₁, u₂, … 略記すると $\langle u_n \rangle$ となります．任意の ε > 0 があり，ある数 N > 0 が存在し，|u_n – l| N について成り立つ時，この数列は極限値 l を持つ，または l に収束するといいます．そのような場合には $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n =l$ のように記述します．数列が収束しない場合は発散するといいます．

　次のような数列を考えてみます． u₁, u₁ + u₂, u₁ + u₂ + u₃, … または S₁, S₂, S₃, … ただし S_n = u₁ + u₂ + … + u_n．これを $\langle S_n \rangle$ と記述し，数列 $\langle u_n \rangle$ の部分和の数列と呼びます．その記号は

$\displaystyle u_1 + u_2 + u_3 + \cdots$ または $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n$ または略記して $\displaystyle \sum u_n$

のように定義し， $\langle S_n \rangle$ と同義であり無限級数と呼びます．この級数が収束するか発散するかは $\langle S_n \rangle$ が収束するか発散するかに依存します．S に収束するなら S は数列の合計と呼びます．

　以下は無限級数についてのいくつかの重要な定理です．

級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ は p > 1 なら収束し， p ≤ 1 なら発散する．
∑|u_n| が収束しかつ |v_n| ≤ |u_n| なら ∑|v_n| は収束する．
∑|u_n| が収束するなら ∑u_n は収束する．
∑|u_n| が発散しかつ v_n ≥ |u_n| なら ∑v_n は発散する．
級数 ∑|u_n| ただし |u_n| = f(n) ≥ 0 が収束するか発散するかは $\displaystyle \int_{1}^{\infty}f(x)dx = \lim\limits_{M \rightarrow \infty}\int_{1}^{M}f(x)dx$ が存在するかしないかに依存する．この定理はしばしば積分判定法と呼ばれる．
級数 ∑|u_n| は $\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}|u_n| \neq 0$ なら発散する．しかしながら，仮に $\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}|u_n| = 0$ の場合，級数が収束するか発散するかは分からない．
次のように仮定してみる． $\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_n}\right| = r$ . すると級数 ∑u_n converges (absolutely) は r 1 なら発散する．r = 1 の場合結論は一定ではない．この定理はしばしば比判定法として引用される．