一様収束

　前回の記事で述べた考えは u_n が x の関数の場合，u_n(x) と記述するが，に拡張できます．そのような場合，数列または級数が収束するか発散するかは x の特定の値に依存します．数列や級数が収束する x の値の集合は収束領域と呼ばれ， と表記します．

　級数 u₁(x) + u₂(x) + … は領域 内の S(x) の合計に収束します，もし ε > 0 があってε と x の両者に依存するある数 N があり，|S(x) – S_n(x)| N であって S_n(x) = u₁(x) + … + u_n(x) の場合には．もし ε のみに依存し，x には依存しない N を見つけられるなら，その級数は 内の S(x) に一様収束します．一様収束級数には次の定理に示すように多くの利点があります．

1. 仮に u_n(x), n = 1, 2, 3, … が a ≤ x ≤ b の範囲で連続であり，かつ ∑ u_n(x) が a ≤ x ≤ b の範囲で S(x) に一様収束するなら S(x) は a ≤ x ≤ b の範囲で連続である．
2. 仮に ∑u(x) が S(x) に a ≤ x ≤ b の範囲で一様収束し，かつ u_n(x), n = 1, 2, 3, … が a ≤ x ≤ b の範囲で積分可能である場合は以下が成り立つ．
   
3. 仮に u_n(x), n = 1, 2, 3, … が連続でかつ a ≤ x ≤ b の範囲で連続して微分可能であり，さらに ∑u_n(x) が S(x) に収束し，∑u’_n(x) が a ≤ x ≤ b の範囲で一様収束するなら以下が成り立つ．
   
4. 正の定数 M_n が存在し n = 1, 2, 3, … で 領域内の M_n において |u_n| ≤ M_n であり，かつ ∑M_n が収束する場合，故に ∑u_n(x) は に一様収束する．

　一様収束の重要な判定法があり，しばしば Weierstrass M test と呼ばれますが，上記に示したとおりです．