一次方程式と行列式

$\displaystyle a_1x + b_1y = c_1\\\vspace{0.2 in} a_2x + b_2y = c_2\ \cdots(1)$

　これらは xy 平面における 2 本の直線を示しており，一般に (x, y) 座標で交わる 1 点において同時に解が得られます．

$\displaystyle x = \frac{c_1b_2 - b_1c_2}{a_1b_2 - b_1a_2},\ y = \frac{a_1c_2 - c_1a_2}{a_1b_2 - b_1a_2}\ \cdots(2)$

　これを行列式で表現するのは便利です．

$\displaystyle x = \frac{\left|\begin{array}{cc}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right|},\ y = \frac{\left|\begin{array}{cc}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|}\ \cdots(3)$

　2 次の行列式は次のように定義します．

$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array}\right| = ad - bc\ \cdots(4)$

　強調すべきことですが，(3) で記述した x と y の分母は (1) の x と y の係数を含む行列式です．x の分子は分母の 1 列目を (1) の右側の c₁, c₂ の定数で置換して得られます．同様に y の分子は c₁, c₂ で 2 列目を置換して得られます．この処理はしばしば Crame’s rule と呼ばれます．(3) の分母がゼロの場合は (1) で示される 2 行は1点で交差せず，一致するか平行であるかです．

　この考えは容易に拡張できます．次の方程式を考えてみましょう．

$\displaystyle a_1x + b_1y + c_1z = d_1\\\vspace{0.2 in} a_2x + b_2y + c_2z = d_2\ \cdots(5)\\\vspace{0.2 in} a_3x + b_3y + c_3z = d_3$

3行を示します．これらが 1 点で交わる場合，この点の (x, y, z) 座標は Cramer’s rule から得られます．

$\displaystyle x = \frac{\left|\begin{array}{ccc}d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|},\ y = \frac{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|},\ z = \frac{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|}\ \cdots(6)$

　3 次の行列式は次のように定義されます．

$\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 - (b_1a_2c_3 + a_1c_2b_3 + c_1b_2a_3)\ \cdots(7)$

　この行列式は 2 次の行列式の面で次のように評価されます．

$\displaystyle a_1\left|\begin{array}{cc}b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3\end{array}\right| - b_1\left|\begin{array}{cc}a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3\end{array}\right| + c_1\left|\begin{array}{cc}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{array}\right|\ \cdots(8)$

　ここで強調しておきたいことは，a₁, b₁, c₁ は 1 行目の要素であり，対応する 2 次の行列式は 3 次の行列式からその要素が現れる行と列を除去して得られます．

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