複素数は 
- 加算
- 減算
- 乗算
- 除算
いかなる状況でも i2 を -1 で置換することを除けば，代数の通常の定義が用いられます．交換法則，結合法則，分配法則もまた複素数に適用されます．a + bi の a および b はそれぞれ 実数部 および 虚数部 と呼ばれます．二つの複素数が等しいとは，実数部と虚数部とがそれぞれ等しい時に限られます．
ある複素数 z = x + iy は xy 直交平面上の (x, y) 座標の点 P とみなすことができ，この場合この平面を 複素平面 または アルガン図 と呼びます．仮に原点 O から点 P への直線を引き，OP 間の距離を ρ とし，OP と x 軸のなす角度を φ とすると，次の図を得ます．
また複素数をいわゆる 極座標系式 として以下のように記述できます．
しばしば ρ は z の モジュラス または 絶対値 と呼ばれ，|z| と記述します．角 φ は z の amplitude または argument と呼ばれ，arg z と略記します．
極座標で複素数を記述すると以下のようになります．
すると
![\displaystyle z_1z_2 = \rho_1\rho_2[\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)]\\\vspace{0.2 in} \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}[\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2)]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+z_1z_2+%3D+%5Crho_1%5Crho_2%5B%5Ccos%28%5Cphi_1+%2B+%5Cphi_2%29+%2B+i%5Csin%28%5Cphi_1+%2B+%5Cphi_2%29%5D%5C%5C%5Cvspace%7B0.2+in%7D++%5Cfrac%7Bz_1%7D%7Bz_2%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho_1%7D%7B%5Crho_2%7D%5B%5Ccos%28%5Cphi_1+-+%5Cphi_2%29+%2B+i%5Csin%28%5Cphi_1+-+%5Cphi_2%29%5D&bg=T&fg=000000&s=0 "\displaystyle z_1z_2 = \rho_1\rho_2[\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)]\\\vspace{0.2 in} \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}[\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2)]")
仮に n を任意の実数とすると以下を得ます．
![\displaystyle z^n = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = \rho^n(\cos n\phi + i\sin n\phi)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+z%5En+%3D+%5B%5Crho%28%5Ccos%5Cphi+%2B+i%5Csin%5Cphi%29%5D%5En+%3D+%5Crho%5En%28%5Ccos+n%5Cphi+%2B+i%5Csin+n%5Cphi%29&bg=T&fg=000000&s=0 "\displaystyle z^n = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = \rho^n(\cos n\phi + i\sin n\phi)")
これは ド・モアブルの定理 として知られています．これを用いて複素数の根を定義できます．例えば仮に n を正の整数と仮定すると，
![\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^\frac{1}{n} = \rho^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right)\right\}\\\vspace{0.2 in} \ \ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+z%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D+%3D+%5B%5Crho%28%5Ccos%5Cphi+%2B+i%5Csin%5Cphi%29%5D%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D+%3D+%5Crho%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Ccos%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cphi+%2B+2k%5Cpi%7D%7Bn%7D%5Cright%29+%2B+i%5Csin%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cphi+%2B+2k%5Cpi%7D%7Bn%7D%5Cright%29%5Cright%5C%7D%5C%5C%5Cvspace%7B0.2+in%7D++%5C+%5C+k+%3D+0%2C%5C+1%2C%5C+2%2C%5C+%5Ccdots%2C%5C+n-1&bg=T&fg=000000&s=0 "\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = [\rho(\cos\phi + i\sin\phi)]^\frac{1}{n} = \rho^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right)\right\}\\\vspace{0.2 in} \ \ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1")
ex, sin x, cos x のための級数を用いると以下の定義に導かれます．
これらは オイラーの公式 と呼ばれ，方程式を指数関数の観点から書き直すことができます．
