常微分方程式

微分方程式の定義

　微分方程式 とは微分を含む方程式のことです．

　ただ一つの独立変数を含む方程式を 常微分方程式 と呼びます．2つ以上の独立変数を含む方程式を 偏微分方程式 と呼びます．

微分方程式の階数

　n次の微分を持つ方程式がそれ以上高階の微分を持たない時，n階微分方程式 と言います．

任意定数

　任意定数とは，しばしば1文字で記述され A, B, C, c₁, c₂ などのようにアルファベットで始まりますが，関与する変数とは独立しているのを前提にしています．例えば という関数においては c₁ と c₂ が任意定数です．

　 の式の関係は と記述され，事実上ただ一つの任意定数を伴っています．定数の最小数が存在することを前提にしています．すなわち任意定数は 不可欠 です．

微分方程式の解

　微分方程式の 解 は変数間の関係であり，微分を持たず同一の微分方程式を満たすものを言います． は の解であり，2 = 2 の同一性を置換したものです．

　n 階の微分方程式の 一般解 は唯一の n 個の（不可欠な）任意定数を伴います． が 2 つの任意定数を有し，2 階の微分方程式 を満たすため，それは の一般解です．

　特殊解 は一般解の任意定数に特殊な値を割り付けることで得られます． は の特殊解であり，一般解 に c₁ = -3 および c₂ = 2 を代入することで得られます．

　単解 は任意定数の値を特定しても一般解からは得られません． の一般解は です．しかし別の置換法によって見てみると はいかなる定数 c によっても一般解からは得られません．この後者が単解です．

曲線族の微分方程式

　n 階の微分方程式の一般解は n 個の任意定数（または変数）をもち，n 変数の曲線族 を幾何学的に表しています．逆に n 個の任意定数との関連は（時に 原始関数 とも呼ばれますが） n 階の微分方程式と関連付けられており（故に一般解なのですが） 族の微分方程式 と呼ばれます．この微分方程式は原始関数を n 回微分することにより得られ，その結果 n + 1 個の方程式の中で n 個の任意定数は消えます．