特殊な1階常微分方程式とその解

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　いかなる 1 階の微分方程式も次の形に置き換えることができます．

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x,y)$

または

$\displaystyle M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

そしてそれらの方程式の一般解は一つの任意定数を持ちます．様々な種類の 1 階微分方程式の一般解の発見には多くの特殊な装置が有用です．下記のリストにはその幾つかを示してあります．

変数分離法
完全微分方程式
積分因子
線形微分方程式
同次方程式
ベルヌーイの方程式
y について解ける方程式
クレローの方程式
その他の方程式

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1. 変数分離法

　微分方程式が下記のようである場合は

$\displaystyle f_1(x)g_1(y)dx + f_2(x)g_2(y)dy = 0$

一般解を得るには $g_1(y)f_2(x) \ne 0$ で除し，積分します．

$\displaystyle \int\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \int\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = c$

2. 完全微分方程式

　微分方程式が下記のようである場合は

$\displaystyle M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$

ここで $\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

　この方程式は次のように書き換えられます．

$\displaystyle Mdx + Ndy = dU(x, y) = 0$

ここで dU は完全微分方程式です．ゆえにその解は $U(x, y) = c$ または同等の解として

$\displaystyle \int M\partial x + \int\left(N - \frac{\partial}{\partial y}\int M\partial x\right)dy = c$

ここで δx は y を定数とし x による積分を行うことを示します．

3. 積分因子

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$

ここで

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$

　この方程式は次のように完全微分方程式に書き換えられます．

$\displaystyle \mu M dx + \mu N dy = 0$

ここで μ は適切な積分因子です．

　下記の組み合わせは積分因子を発見するのにしばしば有用です．

$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2} = d\left(\frac{y}{x}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{y^2} = -d\left(\frac{x}{y}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} = d\left(\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)$
$\displaystyle \frac{xdy - ydx}{x^2 - y^2} = \frac{1}{2}d\left(\ln\frac{x - y}{x + y}\right)$
$\displaystyle \frac{xdx + ydy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2}d\{\ln(x^2 + y^2)\}$

4. 線形微分方程式

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

　積分因子は次のように得られます．

$\displaystyle \mu = e^{\int P(x)dx}$

また方程式は次のように書き換えられます．

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\mu y) = \mu Q$

解は以下のようです．

$\displaystyle \mu y = \int \mu Qdx + c$

または

$\displaystyle ye^{\int Pdx} = \int Qe^{\int Pdx}dx + c$

5. 同次方程式

微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$

　 $y/x = v$ または $y = vx$ とします．すると方程式は次のようになります．

$\displaystyle v + x\frac{dv}{dx} + F(x)$

または

$\displaystyle xdv + (F(x) - v)dx = 0$

ここで Type 1 と同じになり，解は次のようになります．

$\displaystyle \ln x = \int \frac{dv}{F(v) - v} + c$

ここで $v = y/x$ です．もし $F(v) = v$ なら解は $y = cx$ となります．

6. ベルヌーイの方程式

微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n,\ n \neq 0, 1$

　 $v = y^{1 - n}$ とします．すると方程式は Type 4 に置き換えられ，解は次のようになります．

$\displaystyle ve^{(1-n)\int Pdx} = (1 - n)\int Qe^{(1-n)\int Pdx}dx + c$

　仮に n = 0 なら方程式は Type 4 と同じであり， n = 1 なら Type 1 と同じです．

7. y について解ける方程式

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle y = g(x, y)$

ここで

$\displaystyle p = y'$

　方程式の両辺を x について微分すると次が得られます．

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dg}{dx} = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}$

または

$\displaystyle p = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}$

　そしてこの最後の方程式を解くと $G(x, p, c) = 0$ が得られます．必要な解は $G(x, p, c) = 0$ と $y = g(x, p)$ の間の p を消去して得られます．

　その方程式を x について解くための類似の方法が存在します．

8. クレローの方程式

　微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle y = px + F(p)$

ここで

$\displaystyle p = y'$

　この方程式は Type 7 に置き換えられ，解は次の通りです．

$\displaystyle y = cx + F(c)$

　この方程式もまた一般解のうち単解を有します．

9. その他の方程式

微分方程式が下記のようである場合，

$\displaystyle (a) \frac{dy}{dx} = F(\alpha x + \beta y)\\\vspace{0.2 in} (b) \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{\alpha_1 x + \beta_1 y + \gamma_1}{\alpha_2 x + \beta_2 y + \gamma_2}\right)$

(a) $\alpha x + \beta y = v$ とすると，方程式は Type 1 に置き換えられます．

(b) $x = X +h,\ y = Y + k$ とし，定数 h と k を方程式が Type 5 に置き換えられるように定めます．この処理は以下の場合，すなわち $\alpha_1/\alpha_2 \neq \beta_1/\beta_2$ の場合に限り可能です．仮に $\alpha_1/\alpha_2 = \beta_1/\beta_2$ の場合，方程式は Type 9(a) に置き換えられます．

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投稿者: admin

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2. 完全微分方程式

3. 積分因子

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5. 同次方程式

6. ベルヌーイの方程式

7. y について解ける方程式

8. クレローの方程式

9. その他の方程式

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