n階の一般線形微分方程式

　n 階の一般的な線形微分方程式は次の形を取ります．

$\displaystyle a_0(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y = R(x)\ \ \ (1)$

　この形で書けない微分方程式は非線形と呼ばれます．

$\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 2xy = \sin x$ は 2 階の線形微分方程式です． $\displaystyle y\frac{d^2y}{dx^2} - x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + x^2y = e^{-x}$ は 2 階の非線形微分方程式です．

　仮に式 (1) の右辺 R(x) をゼロに置換した場合その方程式は相補，縮約または同次方程式と呼ばれます．仮に R(x) ≠ 0 の時，その方程式は完全または 非同次 方程式と呼ばれます．

　仮に $\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} -2xy =\sin x$ が完全方程式の時，ゆえに $\displaystyle x\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ は対応する相補，縮約または同次方程式です．

　仮に $a_0(x)\, \cdots \,a_n(x)$ が全て定数の時， (1) は constant coefficient を持つと言われ，そうでなければ 変数係数 を持つと言われます．

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