三重積

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　3つのベクトル \bold{A}, \bold{B} および \bold{C} のドット積及びクロス積は以下の形をした意義深い積を生み出すかもしれません． (\bold{A}\cdot\bold{B})\bold{C}, \bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) および \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C})．以下の法則が有効です．

  1. (\bold{A}\cdot\bold{B})\bold{C} \ne \bold{A}(\bold{B}\cdot\bold{C})
  2. \bold{A}\cdot(\bold{B}\times\bold{C}) = \bold{B}\cdot(\bold{C}\times\bold{A}) = \bold{C}\cdot(\bold{A}\times\bold{B}) は \bold{A}, \bold{B}, および \bold{C} を辺とする平行六面体の体積であり， \bold{A}, \bold{B} および \bold{C} が右手系をなすか否かに従って負の体積を有することもある．仮に \bold{A} = A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k}, \bold{B} = B_1\bold{i} + B_2\bold{j} + B_3\bold{k} および \bold{C} = C_1\bold{i} + C_2\bold{j} + C_3\bold{k} ならば
    \displaystyle \bold{A}\cdot(\bold{B}\times\bold{C}) = \left|\begin{array}{ccc} A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{array}\right|\cdots (6)
  3. \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) \ne (\bold{A} \times \bold{B}) \times \bold{C}
  4. \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) = (\bold{A} \cdot \bold{C})\bold{B} - (\bold{A} \cdot \bold{B})\bold{C}\\ (\bold{A} \times \bold{\bold{B}}) \times \bold{C} = (\bold{A} \cdot \bold{C})\bold{B} - (\bold{B} \cdot \bold{C})\bold{A}

　積 \bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) は時に スカラー三重積 または box product と呼ばれ， \left[\bold{ABC}\right] と記述します．積 \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) は ベクトル三重積 と呼ばれます．

　\bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) においては括弧は時に省略され， \bold{A} \cdot \bold{B} \times \bold{C} と記述します．しかしながら括弧は \bold{A} \times (\bold{B} \times \bold{C}) においては絶対に必要です．\bold{A} \cdot (\bold{B} \times \bold{C}) = (\bold{A} \times \bold{B}) \cdot \bold{C} であることに注意してください．これはスカラー三重積においてはドット積とクロス積が入れ替わっても結果が変わらないことを示しています．

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投稿者: admin

趣味：写真撮影とデータベース． カメラ：TOYO FIELD, Hasselblad 500C/M, Leica M6． SQL Server 2008 R2, MySQL, Microsoft Access．

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