ベクトル関数の極限，連続と導関数

　ベクトル関数の極限，連続及び導関数は，スカラー関数のそれとよく似た規則に従います．以下の記述は存在する類似を示しています．

ベクトル関数 $\bold{A}(u)$ は $u_0$ において連続であると言われる．仮に任意の正の数 $\varepsilon$ があってここで $\left|u - u_0\right| < \delta[/latex] を満たす [latex]\left|\bold{A}(u) - \bold{A}(u_0)\right| < \varepsilon[/latex] が存在するようなある正の数 [latex]\delta[/latex] を見つけられるなら．このことは次の記述と等価である．[latex]\lim\limits_{u \rightarrow u_0}\bold{A}(u) = \bold{A}(u_0)[/latex]</li> <li>[latex]\bold{A}(u)$ の微分は次のように定義される．
$\displaystyle \frac{d\bold{A}}{du} = \lim\limits_{\Delta{u} \rightarrow 0}\frac{\bold{A}(u + \Delta {u}) - \bold{A}(u)}{\Delta{u}}\cdots (7)$
$\bold{A}(u) = A_1(u)\bold{i} + A_2(u)\bold{j} + A_3(u)\bold{k}$ のような場合，
$\displaystyle \frac{d\bold{A}}{du} = \frac{dA_1}{du}\bold{i} + \frac{dA_2}{du}\bold{j} + \frac{dA_3}{du}\bold{k}$
　 $d^2\bold{A}/du^2$ 等のような高階の導関数も同様に定義される．
仮に $\bold{A}(x, y, z) = A_1(x, y, z)\bold{i} + A_2(x, y, z)\bold{j} + A_3(x, y, z)\bold{k}$ ならば
$\displaystyle d\bold{A} = \frac{\partial\bold{A}}{\partial x}dx + \frac{\partial\bold{A}}{\partial y}dy + \frac{\partial\bold{A}}{\partial z}dz\cdots(8)$
は $\bold{A}$ の微分である．
積の導関数はスカラー関数のそれの規則に従う．しかしながら，クロス積の従う順序は重要かもしれない．いくつかの例を挙げる．
$\displaystyle (a)\ \frac{d}{du}(\phi\bold{A}) = \phi\frac{d\bold{A}}{du} + \frac{d\phi}{du}\bold{A}$
$\displaystyle (b)\ \frac{\partial}{\partial y}(\bold{A} \cdot \bold{B}) = \bold{A} \cdot \frac{\partial \bold{B}}{\partial y} + \frac{\partial\bold{A}}{\partial y} \cdot \bold{B}$
$\displaystyle (c)\ \frac{\partial}{\partial z}(\bold{A} \times \bold{B}) = \bold{A} \times \frac{\partial\bold{B}}{\partial z} + \frac{\partial\bold{A}}{\partial z} \times \bold{B}$