ベクトル導関数の幾何学的解釈

　 $\bold{r}$ が座標系の原点 $O$ と点 $(x, y, z)$ とを結合するベクトルの時，ベクトル関数 $\bold{r}(u)$ の詳細は $x$ , $y$ および $z$ を $u$ の関数として定義します． $u$ が変化するにつれて $\bold{r}$ の終点はパラメトリックな方程式 $x = x(u)$ , $y = y(u)$ , $z = z(u)$ を持つ 空間曲線 を描きます．変数 $u$ が曲線上のある固定点から測定した弧長 $s$ の時，

$\displaystyle \frac{d\bold{r}}{ds} = \bold{T}\cdots(9)$

上式は曲線の接線方向への単位ベクトルであり 単位接線ベクトル と呼びます．仮に $u$ が時間 $t$ の時，

$\displaystyle \frac{d\bold{r}}{dt} = \bold{v}\cdots(10)$

上式は終点 $\bold{r}$ が曲線上に描く速度です．ここで

$\displaystyle \bold{v} = \frac{d\bold{r}}{dt} = \frac{d\bold{r}}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dt}\bold{T} = v\bold{T}\cdots(11)$

$\bold{v}$ の大きさを得，しばしば速度は $v = ds/dt$ と記述します．同様に

$\displaystyle \frac{d^2\bold{r}}{dt^2} = \bold{a}\cdots(12)$

上式は終点 $\bold{r}$ が曲線上で描く 加速度 です．この概念は力学にとって重要な意味を持ちます．

投稿者: admin

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