勾配，発散，回転 | Improve Society

　以下で定義されるベクトル演算子 $\nabla\ (del)$ を考えてみましょう．

$\displaystyle \nabla \equiv \bold{i}\frac{\partial}{\partial x} + \bold{j}\frac{\partial}{\partial y} + \bold{k}\frac{\partial}{\partial z}\cdots(13)$

　仮に $\phi(x, y, z)$ および $\bold{A}(x, y, z)$ が（多くの例において必要性よりも強い状態にある）ある地点において一階の偏微分を有する場合，以下のように定義できます．

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1 1. 勾配

2 2. 発散

3 3. 回転

1. 勾配

　 φ の勾配は以下の定義です．

$\displaystyle grad\phi = \nabla\phi = \left(\bold{i}\frac{\partial}{\partial x} + \bold{j}\frac{\partial}{\partial y} + \bold{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\phi\\ = \bold{i}\frac{\partial\phi}{\partial x} + \bold{j}\frac{\partial\phi}{\partial y} + \bold{k}\frac{\partial\phi}{\partial z}\\ = \frac{\partial\phi}{\partial x}\bold{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\bold{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\bold{k}\cdots(14)$

　仮に $\phi(x, y, z) = c$ が表面の方程式の場合， $\nabla\phi$ はこの表面に対して垂直であることは興味深い解釈です．

2. 発散

　 $\bold{A}$ の発散は以下で定義されます．

$\displaystyle div\bold{A} = \nabla\cdot\bold{A} = \left(\bold{i}\frac{\partial}{\partial x} + \bold{j}\frac{\partial}{\partial y} + \bold{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k})\\ = \frac{\partial A_1}{\partial x} + \frac{\partial A_2}{\partial y} + \frac{\partial A_3}{\partial z}\cdots(15)$

3. 回転

　 $\bold{A}$ の回転は以下で定義されます．

$\displaystyle curl\bold{A} = \nabla\times\bold{A} = \left(\bold{i}\frac{\partial}{\partial x} + \bold{j}\frac{\partial}{\partial y} + \bold{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\times(A_1\bold{i} + A_2\bold{j} + A_3\bold{k})\\ = \left|\begin{array}{ccc} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_1 & A_2 & A_3 \end{array}\right| \\ = \bold{i}\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_2 & A_3 \end{array}\right| - \bold{j}\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_1 & A_3 \end{array}\right| + \bold{k}\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ A_1 & A_2 \end{array}\right|\\ = \left(\frac{\partial A_3}{\partial y} - \frac{\partial A_2}{\partial z}\right)\bold{i} + \left(\frac{\partial A_1}{\partial z} - \frac{\partial A_3}{\partial x}\right)\bold{j} + \left(\frac{\partial A_2}{\partial x} - \frac{\partial A_1}{\partial y}\right)\bold{k}\cdots(16)$

　行列式，演算子 $\partial/\partial x$ , $\partial/\partial y$ , $\partial/\partial z$ においては必ず $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ の前に置かねばならないことに注意してください．