特殊な曲線座標

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1 1. 円柱座標系
2 2. 球面座標系

1. 円柱座標系 (\rho, \phi, z)

変換式: x = \rho\cos\phi ,\ y = \rho\sin\phi ,\ z = z

ここで \rho \ge 0 , 0 \le \phi \le 2\pi,

弧長要素: ds^2 = d\rho^2 + \rho^2 d\phi^2 + dz^2

ヤコビアン: \displaystyle \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \phi, z)} = \rho

体積要素: dV = \rho d\rho d\phi dz

ラプラシアン: \displaystyle \nabla^2U = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left( \rho\frac{\partial U}{\partial\rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2U}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2U}{\partial z^2} = \frac{\partial^2U}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial U}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2U}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2U}{\partial z^2}

　z 依存性を省略した平面内での極座標系で対応する結果が得られることに注意してください．そのような場合，例えば ds^2 = d\rho^2 + \rho^2d\phi^2 ここで体積要素は面積要素 dA = \rho d\rho d\phi で置換されます．

2. 球面座標系 (r, \theta, \phi)

変換式: x = r\sin\theta,\ y = r\sin\theta\sin\phi,\ z = r\cos\theta

ここで r \ge 0,\ 0 \le \theta \le \pi,\ 0 \le \phi \le 2\pi .

スケール因子: h_1 = 1,\ h_2 = r,\ h_3 = r\sin\theta

弧長要素: ds^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2

ヤコビアン: \displaystyle \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \phi)} = r^2\sin\theta

体積要素: dV = r^2\sin\theta drd\theta d\phi

ラプラシアン: \displaystyle \nabla^2U = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial U}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial U}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2U}{\partial\phi^2}

他の種類の座標系も可能です．

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投稿者: admin

趣味：写真撮影とデータベース． カメラ：TOYO FIELD, Hasselblad 500C/M, Leica M6． SQL Server 2008 R2, MySQL, Microsoft Access．

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