いくつかの行列を含む特殊な定義と演算

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9 9. エルミート行列及び歪エルミート行列

10 10. 主対角線と行列のトレース

11 11. 単位行列

12 12. 零行列またはヌル行列

1. 行列が等しい

　二つの行列 $A = (a_{jk})$ および $B = (b_{jk})$ が同じ次数で（すなわち行と列の数が同じで） $a_{jk} = b_{jk}$ の時にのみ 等しい．

2. 行列の和

　仮に $A = (a_{jk})$ および $B = (b_{jk})$ が同じ次数ならば $A$ および $B$ の和を $A + B = (a_{jk} + b_{jk})$ と定義できます．

　行列の交換法則と結合法則は，すなわちある同じ次数の行列 $A,\ B,\ C$ を下記のように記述します．

$A + B = B + A,\ A + (B + C) = (A + B) + C \cdots (2)$

3. 行列の差

　仮に $A = (a_{jk})$ , $B = (b_{jk})$ が同じ次数を有するなら $A$ および $B$ の差を $A - B = (a_{jk} - b_{jk})$ と定義できます．

4. 行列のスカラー倍

　仮に $A = (a_{jk})$ があって $\lambda$ が任意の数またはスカラーの時 $A$ の $\lambda$ による積を $\lambda A = A\lambda = (\lambda a_{jk})$ と定義できます．

5. 行列の積

　仮に $A = (a_{jk})$ が $m\times n$ 行列で $B = (b_{jk})$ が $n\times p$ 行列の時， $A\cdot B$ または $AB$ の積を行列 $C = (c_{jk})$ と定義できます．ここで

$\displaystyle c_{jk} = \sum_{l = 1}^n a_{jl}b_{lk} \cdots (3)$

また $C$ は $m\times p$ 次です．

　一般に $AB \ne BA$ すなわち行列の積の交換法則は成り立たないことに注意してください．しかしながら結合法則と分配法則は成り立ちます，すなわち

$A(BC) = (AB)C,\ A(B + C) = AB + AC,\ (B + C)A = BA + CA \cdots (4)$

　ある行列 $A$ がそれ自身との積をつくれるのは正方行列の場合のみです．積 $A \cdot A$ は $A^2$ と記述します．同様に行列の累乗を定義できます．すなわち $A^3 = A\cdot A^2,\ A^4 = A\cdot A^3$ などです．

6. 行列の転置

　行列 $A$ の行と列を入れ替えることができるなら，その結果得られる行列は $A$ の転置と呼び， $A^T$ と記述します．記号では，仮に $A = (a_{jk})$ ならば $A^T = (a_{kj})$ と記述します．

以下を証明できます．

$(A + B)^T = A^T + B^T,\ (AB)^T = B^TA^T,\ (A^T)^T = A \cdots(5)$

7. 対称行列と歪対称行列

　ある正方行列 $A$ は $A^T = A$ の時対称と呼び， $A^T = - A$ の時 歪対称 と呼びます．

　任意の実正方行列（すなわち実数の要素のみからなる実正方行列）は常に実対称行列と実歪対称行列の和で表現できます．

8. 行列の複素共役

　仮に行列 $A$ のすべての要素 $a_{jk}$ が複素共役 $\bar{a}_{jk}$ で置き換えられたら，その結果得られた行列は $A$ の 複素共役 と呼び， $\bar{A}$ と記述します．

9. エルミート行列及び歪エルミート行列

　ある行列 $A$ がそれ自身の転置の複素共役に等しい時，すなわち $A = \bar{A}^T$ であるなら エルミート行列 と呼びます．仮に $A = -\bar{A}^T$ の場合は $A$ は 歪エルミート行列 と呼びます．仮に $A$ が実行列ならこれらは対称行列および歪対称行列にそれぞれ短縮されます．