行列式の定理 | Improve Society

行列式の値は，行と列が入れ替わっても変化しません．記法では $\det(A) = \det(A^T)$ .
任意の行または列の1つを除く全要素がゼロならば行列式の値は，そのゼロでない要素の余因子の積に等しくなります．特に，ある行または列の全要素がゼロならば行列式もゼロになります．
任意の 2 行または 2 列を交換すると行列式の符号が変化します．
任意の行または列の全要素にある数をかけると，その行列式もその数でかけられたものになります．
任意の 2 行または 2 列が同じか比例するならその行列式はゼロになります．
各行または各列の要素を 2 項で表現できるなら，その行列式は同次の二つの行列式の和で表現できます．
任意の行または列の要素にある数をかけ，任意の他の行または列の対応する要素に足していくと，その行列式の値は同じになります．
仮に $A$ および $B$ が同次の正方行列なら
$\det(AB) = \det(A)\det(B)\cdots(11)$
他の行または列の余因子による任意の行または列の要素の積和はゼロとなります．記法では
$\displaystyle \sum^n_{k=1}a_{qk}A_{pk} = 0$ or $\displaystyle \sum^n_{k=1}a_{kq}A_{kp} = 0$ if $p \ne q\cdots(12)$
仮に $p = q$ なら $\det(A)$ の和は (10) によります．
ここで $v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n$ が n 次正方行列 $A$ の行ベクトルまたは列ベクトルを表すとします．すると $\det(A) = 0$ となるのはすべてゼロではない以下の条件を満たす定数またはスカラー $\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n$ が存在するときのみです．
$\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \cdots + \lambda_nv_n = O \cdots(13)$
ここで O はヌル行列または零行列です．仮に条件式 (13) が満たされるならベクトル $v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n$ は 線形従属 であると示すことができます．ある行列 $A$ が $\det(A) = 0$ を満たすなら 特異行列 と呼びます．仮に $\det(A) \ne 0$ であるなら $A$ は 非特異行列 です．