二重積分

$F(x, y)$ を $xy$ 平面の閉領域 $\cal R$ 内に定義します． $\cal R$ を面積が $\Delta A_k,\ k = 1,\ 2,\ \dots,\ n$ で $n$ 個の小領域 $\Delta\cal R$ に細分化します． $(\xi_k, \eta_k)$ を $\Delta\cal R$ のある点とします．次のように和を形成します．

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}F(\xi_k, \eta_k)\Delta A_k\cdots(1)$

以下を考えてみましょう．

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum^{n}_{k=1}F(\xi_k, \eta_k)\Delta A_k\cdots(2)$

ここで極限は細分化された n の数が無限に増大し，またそれぞれの $\Delta \cal R$ の最大長の次元はゼロに近づいていくものとします．このような極限が存在する時，次のように記述します．

$\displaystyle \iint_{\cal R}F(x, y)dA\cdots(3)$

そしてこれを領域 $\cal R$ における F(x, y) の 二重積分 と呼びます．

仮に $\cal R$ において $F(x, y)$ が連続，または区間的に連続なら極限は存在すると証明できます．

投稿者: admin

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