上述の結果は3次元での閉じた領域に容易に拡張できます．例えば，3次元の閉領域 
ここで細分化の個数 n は無限大に増大し，各々の小領域の最大線長はゼロに近づきます．仮にこの極限が存在するなら次のように記述します．
これを
xy, yz および xz 平面に平行な平面でグリッドを形成するなら，領域
![\displaystyle \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)}F(x, y, z)dxdydz = \\ \int_{x=a}^{b} \left [ \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} \left \{ \int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} F(x, y, z)dz \right \} dy \right ] dx\cdots(8)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cint_%7Bx%3Da%7D%5E%7Bb%7D%5Cint_%7By%3Dg_1%28x%29%7D%5E%7Bg_2%28x%29%7D%5Cint_%7Bz%3Df_1%28x%2Cy%29%7D%5E%7Bf_2%28x%2Cy%29%7DF%28x%2C+y%2C+z%29dxdydz+%3D+%5C%5C++%5Cint_%7Bx%3Da%7D%5E%7Bb%7D+%5Cleft+%5B+%5Cint_%7By%3Dg_1%28x%29%7D%5E%7Bg_2%28x%29%7D+%5Cleft+%5C%7B+%5Cint_%7Bz%3Df_1%28x%2Cy%29%7D%5E%7Bf_2%28x%2Cy%29%7D+F%28x%2C+y%2C+z%29dz+%5Cright+%5C%7D+dy+%5Cright+%5D+dx%5Ccdots%288%29&bg=T&fg=000000&s=0 "\displaystyle \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)}F(x, y, z)dxdydz = \\ \int_{x=a}^{b} \left [ \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} \left \{ \int_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} F(x, y, z)dz \right \} dy \right ] dx\cdots(8)")
ここで最内側の積分を最初に評価し，またそのような積分の和として表現します．その積分は同等の結果を与える任意の他の順序で行うことができます．
より高次への一般化も容易です．
