
を Fig. 6-3 に示すように
平面への射影
を有する表裏のある面とします.
を表す式を
とし,
は単一値で,
において全ての
および
について連続であると仮定します.
を
個の領域
に細分化し,各々の小領域の上に垂直な柱を立て,領域
において
と交差させます.
を単一値で
上のあらゆる点で連続であるとします.次の和を考えます.
ここで は
上の任意の点です.仮に
の時各々の
となるこの和の極限が存在するなら,結果の極限は
の
上の 面積分 と呼ばれ,以下により指定されます.
およそ であるため,ここで
は
への法線および
軸とのなす角であり,和 (29) の極限は以下のように記述できます.
の大きさは以下で得られます.
そこで は
において連続(又は区間的に連続)な微分係数を有していると仮定すると (31) は直交系においては次の形で記述できます.
の式が
の形で与えられる場合は (33) は次の形で記述することもできます.
その結果 (33) または (34) は (30) を評価するのに用いることができます.
上記においては は
軸に平行ないかなる線も面
とただ 1 点において交差するような面であることを前提としています.面
がこのタイプでない例においては,普通
を
に分割してこのタイプにすることができます.そこで面
上の面積分を
上の面積分の和と定義できます.
この結果は が
平面 における領域
への射影の時保持されます.場合によっては
を
または
平面に射影したほうが良いこともあります.そのような場合は (30) は (33) および (34) を適切に修正することで評価されます.